Bộ 1 chuyên đề luyện thi vào 10 môn Toán năm 2021 - Chuyên đề 3: Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1.
(Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)
Cho hai số thực dương , thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Lời giải Ta có
Do đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và . Câu 2.
(Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho bốn số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải Ta có .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1


Vậy giá trị nhỏ nhất của là 16, xảy ra khi và chỉ khi
Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018)
Cho , , là ba số thực dương. CMR: Lời giải Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz :
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 3 số , , ta được: Do đó: (đpcm) Dấu xảy ra khi .
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Thanh Hóa năm 2017-2018)
Cho , , là các số dương thay đổi thỏa mãn: .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: . Lời giải Đặt ; ; ; Ta có: 2

Dấu xảy ra khi .
Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018)
Cho hai số thực dương , thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Lời giải Với ta có: . Đặt ; . Khi đó: . (Vì ). Vậy .
Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018) Cho
là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện và
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải Cách 1: Theo đề bài
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Từ và 3

Đặt
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của . Dấu bằng xảy ra khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của Cách 2: Vì .
Ta chứng minh đẳng thức với không âm. 4