Đề chọn HSG môn Toán 6 năm 2022 - 2023 có đáp án ( Đề 1 )

Đề số 1
Thời gian làm bài 120 phút a3 A +2 a2−1 =
Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức
a3+2 a2+2 a+1 a, Rút gọn biểu thức
b, Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a, là một phân số tối giản. 2
Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc=n2−1 và cba=(n−2) Câu 3: (2 điểm)
a. Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. Câu 4: (2 điểm) a+n a
a. Cho a, b, n  N* Hãy so sánh b+n và b 1011−1 1010+1
b. Cho A = 1012−1 ; B = 1011+1 . So sánh A và B.
Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, ....., a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc
tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10.
Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường
thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng.

Đáp án đề số 1 Câu 1: a3
( a+1 )( a2+ a−1 ) a2+a−1 A +2 a2−1 = = a) Ta có:
a3+2 a2+2 a+1 = (a+1)(a2+a+1) a2+a+1
Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm).
Rút gọn đúng cho 0,75 điểm.
b. Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 (0,25đ).
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] ⋮ d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. (0,5đ)
Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2:
abc = 100a + 10 b + c = n2 - 1 (1)
cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) 99(a – c) = 4 n – 5 4n – 5 ⋮ 99 (3) (0,25đ) Mặt khác: 100 n2-1 999 101 n2 1000 11 n 31 39 4n – 5 119 (4) ( 0,25đ) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26
Vậy: abc = 675 ( 0,25đ) Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006
(a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm).
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm).
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n) ⋮ 2 và (a+n) ⋮ 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không
chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm).
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm).
b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3.
Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm).
Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm

a) Ta xét 3 trường hợp ; ; (0,5đ). TH 1: a = b thì . (0,5đ). TH 2: a > b a + n > b+ n. Mà
có phần thừa so với 1 là
có phần thừa so với 1 là , vì nên (0,25đ). TH3: a < b a + n < b + n. Khi đó có phần bù tới 1 là , có phần bù tới 1 là , vì nên (0,25đ). 1011−1 b) Cho A = 1012−1 ; (1011−1)+11 1011 a a+n a +10 =
rõ ràng A < 1 nên theoa, nếu b <1 thì b+n > b  A< (1012−1)+11 1012+10 (0,5đ). 1011+10 10(1010+1) 1010 = +1
Do đó A< 1012+10 = 10(1011+1) 1011+1 (0,5điểm). Vây A < B.
Bài 5: Lập dãy số . Đặt B1 = a1. B2 = a1 + a2 . B3 = a1 + a2 + a3
................................... B10 = a1 + a2 + ... + a10 .
Nếu tồn tại Bi ( i= 1,2,3...10). nào đó chia hết cho 10 thì bài toán được chứng minh. ( 0,25 điểm).
Nếu không tồn tại Bi nào chia hết cho 10 ta làm như sau:
Ta đem Bi chia cho 10 sẽ được 10 số dư ( các số dư  { 1,2.3...9}).
Theo nguyên tắc Diriclê, phải có ít nhất 2 số dư bằng nhau. Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 ( m>n)  ĐPCM.