Lý thuyết Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng các từ một điểm đến một đường thẳngToán 10 Cánh diều

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Bài 4. V t ị rí tư ng đ ơ i ố và góc gi a h ữ ai đư ng t ờ h ng. K ẳ ho ng cách t ả m ừ t ộ đi m ể đ n m ế t ộ đư ng t ờ h ng ẳ A. Lý thuy t ế I. V t ị rí tư ng đ ơ i ố c a hai ủ đư ng t ờ h ng ẳ Trong m t ặ ph ng ẳ t a ọ đ , ộ cho hai đư ng ờ th ng ẳ ∆1 và ∆2 lần lư t ợ có vectơ chỉ

 phư ng l ơ à u u 1 , 2 . Khi đó   a) ∆ u u 1 c t
ắ ∆2 khi và chỉ khi 1 , 2 không cùng phư ng. ơ

 b) ∆ u u 1 song song v i
ớ ∆2 khi và chỉ khi 1 , 2 cùng phư ng ơ và có m t ộ đi m ể thu c m ộ t ộ đư ng ờ th ng m ẳ à không thu c đ ộ ư ng ờ th ng còn l ẳ i ạ .   c) ∆ u u 1 trùng v i ớ ∆2 khi và ch khi ỉ 1 , 2 cùng phư ng ơ và có m t ộ đi m ể thu c ộ cả hai đư ng t ờ h ng ẳ đó. Chú ý:   + ∆ u u 1 vuông góc v i
ớ ∆2 khi và chỉ khi 1 , 2 vuông góc v i ớ nhau. + Khi xét vị trí tư ng ơ đ i ố c a ủ hai đư ng ờ th ng, ẳ có thể d a ự vào c p ặ vec tơ pháp tuy n c ế a ủ hai đư ng t ờ h ng đó. ẳ Ví d :
ụ Xét vị trí tư ng đ ơ i ố c a ủ m i ỗ c p ặ đư ng t ờ h ng ẳ sau:
a) ∆1: 3x + 6y – 7 = 0 và ∆2: x + 2y + 5 = 0; x 4   t  b) ∆ y  1 2t 
3: –3x – 2y + 4 = 0 và ∆4: Hư ng ớ d n gi ẫ i ả  a) Đư ng ờ th ng ẳ ∆ n 1 có vectơ pháp tuy n ế 1 = (3 ; 6). Đư ng ờ th ng ẳ ∆2 có vectơ  pháp tuy n ế n2 = (1; 2).     Ta thấy n n n n
1 = 3 2 nên 1 và 2 cùng phư ng. ơ
Suy ra ∆1 và ∆2 song song ho c ặ trùng nhau. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Lấy đi m ể A(–5 ; 0) thu c ộ ∆2. Thay t a ọ độ c a ủ đi m ể A vào phư ng ơ trình c a ủ ∆1 ta có:
3.(–5) + 6.0 – 7 = 0 ⇔ –22 = 0 (vô lý) Suy ra A ∉ ∆1.
Suy ra ∆1 và ∆2 song song. V y ậ ∆1 và ∆2 song song.  b) Đư ng ờ th ng ẳ ∆ n 3 có vectơ pháp tuy n
ế 3 = (–3 ; –2) nên có vectơ chỉ  phư ng ơ là u3 = (2 ; –3).  Đư ng ờ th ng ẳ ∆ u 4 có vec t ch ơ ỉ phư ng ơ 4 = (–1 ; 2). 2  3    Ta thấy  1 2 nên u u 3 và 4 không cùng phư ng. ơ Suy ra ∆3 và ∆4 c t ắ nhau. V y ậ ∆3 và ∆4 c t ắ nhau.
Nhận xét: Cho hai đư ng t ờ h ng
ẳ ∆1 và ∆2 có phư ng t ơ rình lần lư t ợ là:
a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0. a x  b y  c 0 1 1 1   Xét hệ a x  b y  c 0  2 2 2  (I) a) ∆1 c t ắ ∆2 khi và chỉ khi h ( ệ I) có nghi m ệ duy nh t ấ . b) ∆1 song song v i ớ ∆2 khi và chỉ khi h ( ệ I) vô nghi m ệ . c) ∆1 trùng v i ớ ∆2 khi và chỉ khi h ( ệ I) có vô số nghi m ệ . Ví d :
ụ Xét vị trí tư ng đ ơ i ố c a các ủ c p đ ặ ư ng ờ th ng s ẳ au:
d1: –4x + y – 2 = 0 và d2: 2x + 2y + 5 = 0; Hư ng d ớ ẫn gi i ả T a ọ độ giao đi m ể c a ủ đư ng ờ th ng ẳ d1 và đư ng ờ th ng ẳ d2 là nghi m ệ c a ủ hệ  4x  y – 2  0  phư ng ơ trình 2x  2y  5  0  M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả )  4x  y – 2  0 x  0,9   Hệ 2x  2y  5  0 
có nghiệm duy nhất là y  1,6  Suy ra d1 và d2 c t ắ nhau t i ạ đi m ể có t a đ ọ ( ộ –0,9 ; –1,6). V y d ậ 1 và d2 c t ắ nhau t i ạ đi m ể có t a đ ọ ( ộ –0,9 ; –1,6). II. Góc gi a h ữ ai đư ng t ờ h ng ẳ – Hai đư ng t ờ h ng ẳ ∆1 và ∆2 c t ắ nhau t o t ạ hành bốn góc. + N u ế hai đư ng ờ th ng
ẳ ∆1 và ∆2 không vuông góc v i ớ nhau thì góc nh n ọ trong bốn góc t o t ạ hành đư c ợ g i ọ là góc gi a hai ữ đư ng ờ th ng ẳ ∆1 và ∆2. + N u ế hai đư ng ờ th ng
ẳ ∆1 và ∆2 vuông góc v i
ớ nhau thì ta nói góc gi a ữ hai đư ng t ờ h ng ẳ ∆1 và ∆2 b ng 90 ằ o.    ,12 - Góc gi a hai ữ đư ng t ờ h ng ẳ ∆1 và ∆2 đư c kí ợ hi u ệ và (∆1, ∆2). Quy ư c
ớ : Khi ∆1 song song ho c ặ trùng v i ớ ∆2, ta nói góc gi a ữ hai đư ng ờ th ng ẳ ∆1 và ∆2 b ng ằ 0°. Nhận xét: Góc gi a ữ hai đư ng ờ th ng ẳ luôn bé h n ơ ho c ặ b ng ằ 90°, t c ứ là (∆1, ∆2) ≤ 90°. – Trong m t ặ ph ng ẳ t a ọ đ , ộ cho hai đư ng ờ th ng
ẳ ∆1 và ∆2 có vectơ chỉ phư ng ơ

 lần lư t ợ là u u
1 = (a1; b1) , 2 = (a2; b2) . Ta có:   u .u 1 2 a a  b b 1 2 1 2    2 2 2 2 u . u a  b . a  b cos(∆ 1 2 1 1 2 2 1, ∆2) = . Nhận xét:
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả )

 + Cho hai đư ng ờ th ng ẳ ∆ n n
1 và ∆2 có vectơ pháp tuy n ế l n ầ lư t ợ là 1 , 2 . Ta cũng có:     n .n 1 2 cos(n ,n )   1 2  n . n cos(∆ 1 2 1, ∆2) = . Ví d :
ụ Tính số đo góc gi a ữ hai đư ng ờ th ng ẳ ∆1 và ∆2 trong m i ỗ trư ng ờ h p ợ sau:
a) ∆1: x + 2y – 5 = 0 và ∆2: 2x + 3y – 4 = 0; x 1   5t  b) ∆ y  2  3t 
3: 3x – 2y + 1 = 0 và ∆4: . Hư ng d ớ ẫn gi i ả
 a) Đư ng ờ th ng ẳ ∆ n 1: x + 2y – 5 = 0 có vect ơ pháp tuy n ế là 1 = (1 ; 2); Đư ng ờ
 th ng ẳ ∆ n
2: 2x + 3y – 4 = 0 có vec t pháp t ơ uy n l ế à 2 = (2 ; 3).     n .n 1 2 1.2  2.3 8 cos(n ,n )   1 2    2 2 2 2 n . n 1  2 . 2  3 65 Do đó cos(∆ 1 2 1, ∆2) = ⇒ (∆1, ∆2) ≈ 7°8’. V y ậ góc gi a hai ữ đư ng ờ th ng ẳ ∆1 và ∆2 kho ng 7 ả °8’.  b) Đư ng ờ th ng ẳ ∆ n
3: 3x – 2y + 1 = 0 có vectơ pháp tuy n ế là 3 = (3 ; –2) nên
 có vectơ chỉ phư ng ơ là u3 = (2 ; 3); Đư ng ờ th ng
ẳ ∆4 có vec tơ chỉ phư ng ơ là  u4 = (–5 ; 3). 2.( 5)  3.3 1  2 2 2 2 2  3 . ( 5)  3 442 Do đó cos(∆3, ∆4) = .
⇒ (∆3, ∆4) ≈ 87°16’. III. Kho ng cách t ả m ừ t ộ đi m ể đ n m ế t ộ đư ng t ờ h ng ẳ M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85