Lý thuyết Bài 5: Phương trình đường tròn Toán 10 Cánh diều

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Bài 5. Phư ng t ơ rình đư ng ờ tròn A. Lý thuy t ế I. Phư ng ơ trình đư ng t ờ ròn 1. Phư ng t ơ rình đư ng t ờ ròn Nhận xét: V i ớ hai đi m
ể I(a; b) và M(x; y) trong m t ặ ph ng ẳ t a đ ọ O ộ xy, ta có: 2 2 IM = (x  a)  (y  b) . * Phư ng t ơ rình chính t c c ắ a đ ủ ư ng t ờ ròn: Phư ng t ơ rình đư ng
ờ tròn tâm I(a ; b) bán kính R là (x – a)2 + (y – b)2 = R2. * Phư ng t ơ rình t ng quát ổ c a đ ủ ư ng t ờ ròn – Ta có thể vi t ế phư ng
ơ trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 c a ủ đư ng ờ tròn tâm I(a ; b) bán kính R về phư ng ơ trình có d ng
ạ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0. D ng ạ đó thư ng đ ờ ư c ợ g i ọ là phư ng t ơ rình t ng quát ổ c a ủ đư ng t ờ ròn. – Phư ng ơ trình có d ng
ạ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phư ng ơ trình đư ng ờ tròn
khi và chỉ khi a2 + b2 > c. Lúc này đư ng
ờ tròn có tâm I(a ; b) bán kính R = 2 2 a  b  c . Ví d : ụ a) Vi t ế phư ng t ơ rình chính t c c ắ a ủ đư ng t ờ
ròn tâm I(1 ; 2) và bán kính R= 3; b) Phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 có ph i ả là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a đ ủ ư ng ờ tròn không? N u
ế có, hãy tìm tâm và bán kính c a đ ủ ư ng ờ tròn đó. Hư ng ớ d n gi ẫ i ả a) Phư ng ơ trình chính t c ắ c a ủ đư ng
ờ tròn tâm I(1 ; 2) và bán kính R= 3 là (x –
1)2 + (y – 2)2 = 32 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9 V y ậ phư ng ơ trình chính t c ắ c a ủ đư ng
ờ tròn tâm I(1 ; 2) và bán kính R= 3 là (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9. b) Phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 có d ng
ạ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 v i ớ a = 3, b = –2, c = 5.
Ta có a2 + b2 = 32 + (–2)2 = 13 > 5 nên a2 + b2 > c. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Do đó, phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ 2 2 2 2 m t ộ đư ng
ờ tròn tâm là I(3 ; –2) và bán kính R = a  b  c = 3  ( 2)  5 = 8 . V y ậ phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 4y + 5 = 0 là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ m t ộ đư ng
ờ tròn tâm là I(3 ; –2) và bán kính R = 8 . 2. Phư ng ơ trình đư ng t ờ ròn đi qua ba đi m ể không th ng h ẳ àng Có duy nh t ấ m t ộ đư ng ờ tròn đi qua ba đi m ể không th ng ẳ hàng cho trư c ớ nên ta có thể l p ậ đư c ợ phư ng ơ trình đư ng ờ tròn đó khi bi t ế t a ọ độ c a ủ ba đi m ể nói trên . Ví d : ụ L p ậ phư ng ơ trình đư ng ờ tròn đi qua ba đi m
ể A(0 ; –3), B(1 ; 4), C(2 ; –4). Hư ng d ớ ẫn gi i ả Giả s t ử âm c a ủ đư ng t ờ ròn là I(a ; b).
Ta có IA = IB = IC ⇔ IA2 = IB2 = IC2. 2 2
IA = (0  a)  ( 3  b) ⇒ IA2 = (0 – a)2 + (–3 – b)2 = a2 + b2 + 6b + 9. 2 2
IB = (1 a)  (4  b) ⇒ IB2 = (1 – a)2 + (4 – b)2 = a2 + b2 – 2a – 8b + 17. 2 2
IC = (2  a)  ( 4  b) ⇒ IC2 = (2 – a)2 + (–4 – b)2 = a2 + b2 – 4a + 8b + 20.
Vì IA2 = IB2, IB2 = IC2 nên: 2 2 2 2  a  b  6b  9 a   b – 2a – 8b 17  2 2 2 2 a  b – 2a – 8b 17 a   b – 4a  8b  20   17 a    6 2a 14b 8   1  b  ⇔ 2a –16b 3   ⇔  6  17 1 ;    Suy ra tâm I c a ủ đư ng t ờ ròn có t a đ ọ l
ộ à  6 6  , bán kính đư ng ờ tròn M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) 2 2  17   1 0 5 26    3  2 2     
R = IA = (0  a)  ( 3  b) =  6   6  = 6 . 2 2  17   1  650 x   y       Khi đó phư ng t ơ rình đư ng t ờ ròn là  6   6  36 . 2 2  17   1  650 x   y       V y ph ậ ư ng ơ trình đư ng ờ tròn là  6   6  36 . II. Phư ng t ơ rình ti p t ế uy n c ế a đ ủ ư ng t ờ ròn Cho đư ng
ờ tròn (C) tâm I(a ; b) và đi m ể M0(x0 ; y0) n m ằ trên đư ng ờ tròn đó. G i ọ ∆ là ti p t ế uy n c ế a đ ủ ư ng ờ tròn (C) t i ạ đi m
ể M0(x0 ; y0). Khi đó, ta có:
 – Đư ng ờ th ng ẳ ∆ đi qua đi m ể M IM 0(x0 ; y0) và có vec t ơ pháp tuy n ế 0 = (x0 – a ; y0 – b). – Phư ng t ơ rình ti p t ế uy n ế ∆ là (x
0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0. Ví d : ụ L p ậ phư ng ơ trình ti p ế tuy n ế c a ủ đư ng
ờ tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 t i ạ đi m ể M(4; 2). Hư ng ớ d n gi ẫ i ả Phư ng ơ trình c a ủ đư ng
ờ tròn (C) : x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 có d ng ạ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, v i ớ a = 1, b = –2. Do đó tâm c a đ ủ ư ng ờ tròn (C) là I(1 ; –2). Phư ng t ơ rình ti p t ế uy n ế c a ( ủ C) t i ạ M(4; 2) có d ng: ạ
(4 – 1)(x – 4) + (2 + 2)(y – 2) = 0 ⇔ 3x + 4y – 20 = 0. V y ph ậ ư ng ơ trình ti p t ế uy n c ế a ủ (C) t i
ạ M(4; 2) là 3x + 4y – 20 = 0. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) B. Bài t p t ậ l ự uy n ệ Bài 1: Phư ng
ơ trình nào sau đây là phư ng ơ trình đư ng ờ tròn. Hãy tìm tâm và bán kính c a ủ đư ng t ờ ròn đó. a) x2 + y2 – x – 7y = 0;
b) x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0; Hư ng d ớ ẫn gi i ả a) Phư ng
ơ trình x2 + y2 – x – 7y = 0 có d ng ạ
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, v i ớ a = 1 7 2 , b = 2 , c = 0. 2 2  1   7     
Ta có a2 + b2 =  2  +  2  = 12,5 > 0 nên a2 + b2 > c. Do đó, phư ng
ơ trình x2 + y2 – x – 7y = 0 là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ m t ộ 2 2  1 7  1   7 ;       0 2 2     đư ng
ờ tròn tâm là I 2 2  và bán kính R = a  b  c =  2   2  = 12,5 . V y ậ phư ng
ơ trình x2 + y2 – x – 7y = 0 là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ m t ộ  1 7 ;    đư ng
ờ tròn tâm là I 2 2  và bán kính R = 12,5 . b) Phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 có d ng
ạ x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, v i ớ a = 3, b = –4, c = 100.
Ta có a2 + b2 = 32 + (–4)2 = 25 < 100 nên a2 + b2 < c. Do đó, phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 không là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ đư ng t ờ ròn. V y ậ phư ng
ơ trình x2 + y2 – 6x + 8y + 100 = 0 không là phư ng ơ trình t ng ổ quát c a ủ đư ng t ờ ròn. Bài 2: L p ph ậ ư ng ơ trình đư ng ờ tròn trong m i ỗ trư ng h ờ p s ợ au: M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85