Lý thuyết Bài 5: Xác suất của biến cố Toán 10 Cánh diều

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả )
Bài 5. Xác suất c a bi ủ n c ế ố A. Lý thuy t ế I. M t ộ s khái ố ni m ệ v xác ề su t ấ 1. Phép th ng ử u n ẫ
hiên và không gian m u ẫ Có nh ng
ữ phép thử mà ta không thể đoán đư c ợ k t ế quả c a ủ nó, m c ặ dù đã bi t ế t p h ậ p các ợ k t ế quả có th c ể a phép t ủ hử đó. Nh ng phép t ữ h nh ử t ư h g ế i ọ là phép th ng ử ẫu nhiên (g i ọ t t ắ là phép th ) ử . T p h ậ p Ω các ợ k t ế qu có t ả h x ể y ả ra c a m ủ t ộ phép thử g i ọ là không gian m u ẫ c a phép t ủ hử đó. Ví d : ụ Vi t ế không gian m u c ẫ a ủ phép th t ử ung m t ộ đ ng xu ba l ồ n. ầ Hư ng ớ d n gi ẫ i ả Khi tung m t ộ đ ng ồ xu thì có hai k t ế qu ả có th ể là đ ng ồ xu xu t ấ hi n ệ m t ặ s p ấ (S) ho c đ ặ ồng xu xu t ấ hi n m ệ t ặ ng a ( ử N). Khi đó, tung ba đ ng ồ xu thì có các k t
ế quả có thể là: SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN. Suy ra không gian m u ẫ c a
ủ phép thử là Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}. V y ậ không gian m u ẫ c a ủ phép thử tung đ ng ồ xu ba l n ầ là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}. 2. Bi n c ế ố a) Đ nh nghĩ ị a Nhận xét: - Mỗi sự ki n ệ liên quan đ n ế phép thử T tư ng ơ ng ứ v i ớ m t ộ (và chỉ m t ộ ) t p ậ con A c a không gi ủ an mẫu Ω. - Ngược l i ạ , m i ỗ t p ậ con A c a ủ không gian m u ẫ Ω có thể phát bi u ể dư i ớ d ng m ạ ệnh đ nêu s ề ki
ự ện liên quan đ n phép t ế h ử T. Đ nh ng ị hĩa: Bi n c ế ố ngẫu nhiên (g i ọ t t ắ là bi n c ế ố) là m t ộ t p con c ậ a ủ không gian m u. ẫ M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Chú ý: Vì sự ki n ệ chỉ ra tính ch t ấ đ c ặ tr ng ư cho các ph n ầ t c ử a ủ m t ộ bi n ế cố nên ta cũng g i ọ sự ki n ệ là bi n ế c . ố Ch ng ẳ h n ạ “K t ế quả c a ủ hai l n ầ tung là
giống nhau” trong phép th ử “Tung m t ộ đ ng ồ xu hai l n ầ liên ti p” ế là m t ộ bi n ế cố. Ví d : ụ V i ớ phép th ử tung đ ng ồ xu ba l n ầ liên ti p. ế Bi n ế c ố A: “Có ít nh t ấ hai lần xuất hiện m t ặ sấp” là t p ậ con nào c a không gi ủ an m u. ẫ Hư ng d ớ ẫn gi i ả Phép thử tung đ ng ồ xu ba l n ầ có không gian m u ẫ là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}. Khi đó, bi n c ế ố A tư ng ơ ng v ứ i ớ t p con ậ {SSS; SSN; SNS; NSS}. V y ậ A = {SSS; SSN; SNS; NSS}. b) Bi n c ế ố không. Bi n c ế ch ố c ch ắ n ắ Xét phép th ử T v i ớ không gian m u ẫ Ω. M i ỗ bi n ế c ố là m t ộ t p ậ con c a ủ t p ậ Ω. Vì th , ế t p ậ h p ợ ∅ cũng là m t ộ bi n ế c , ố g i ọ là bi n
ế cố không thể (g i ọ t t ắ là bi n c ế ố không). Còn t p ậ h p Ω g ợ i ọ là bi n c ế ố chắc ch n. ắ Ví d : ụ Khi gieo m t ộ con xúc x c ắ hai l n ầ liên ti p. ế Bi n ế c ố A: “T ng ổ s ch ố m ấ c a ủ hai l n ầ gieo b ng ằ 1” là bi n ế c không. ố Bi n ế c ố B: “T ng ổ s ch ố m ấ hai l n ầ gieo nhỏ h n 13” l ơ à bi n c ế ố ch c ắ ch n. ắ c) Bi n c ế ố đ i ố T p ậ con Ω\A xác đ nh ị m t ộ bi n ế c , ố g i ọ là bi n ế c ố đ i ố c a ủ bi n ế c ố A, kí hi u ệ là A . Chú ý: N u ế bi n ế cố A đư c ợ mô tả dư i ớ d ng ạ m nh ệ đề toán h c ọ Q thì bi n ế cố đối A đư c ợ mô tả b ng ằ m nh ệ đề phủ đ nh ị c a ủ m nh ệ đ ề Q (t c ứ là m nh ệ đ ề Q ). Ví d : ụ Xét phép th ử “Tung m t ộ đ ng ồ xu”. Hãy xác đ nh ị bi n ế c ố đ i ố c a ủ bi n ế
cố A: “Đồng xu xuất hiện m t ặ ng a”. ử Hư ng d ớ ẫn gi i ả Khi tung m t ộ đ ng xu t ồ hì s xu ẽ t ấ hi n m ệ t ặ s p ( ấ S) ho c ặ m t ặ ng a ( ử N). M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Khi đó bi n ế cố đ i ố c a ủ bi n ế cố A: “Đ ng ồ xu xu t ấ hi n ệ m t ặ ng a” ử là A :
“Đồng xu xuất hiện m t ặ sấp”. V y bi ậ n c ế ố đối c a bi ủ n c ế
ố A là A : “Đồng xu xuất hiện m t ặ sấp”. 3. Xác suất c a b ủ i n c ế ố n(A) Xác su t ấ c a ủ bi n ế c ố A, kí hi u ệ là P(A), b ng ằ t s ỉ
ố n() , ở đó n(A), n(Ω) l n ầ n(A) lư t ợ là số ph n t ầ c ử a ủ hai t p h ậ p ợ A và Ω. Như v y P( ậ A) = n() . Ví d : ụ V i ớ phép th ử tung đ ng ồ xu ba l n ầ liên ti p. ế Tính xác su t ấ c a ủ bi n ế cố A: “Có ít nh t ấ hai l n xu ầ t ấ hi n m ệ t ặ s p”. ấ Hư ng ớ d n gi ẫ i ả Phép thử tung đ ng ồ xu ba l n ầ có không gian m u ẫ là: Ω = {SSS; SSN; SNN; SNS; NSS; NSN; NNS; NNN}. ⇒ n(Ω) = 8. Khi đó, các k t ế quả thu n l ậ i ợ cho bi n ế c ố A là: SSS; SSN; SNS; NSS. ⇒ A = {SSS; SSN; SNS; NSS}. ⇒ n(A) = 4. n(A) 4 1
⇒ P(A) = n() = 8 = 2 . 1 V y xác ậ suất c a bi ủ n c ế ố A: “Có ít nh t ấ hai l n xu ầ t ấ hi n m ệ t ặ s p” ấ là 2 . II. Tính ch t ấ c a xác s ủ u t ấ Xét phép th ử T v i ớ không gian m u l
ẫ à Ω. Khi đó, ta có các tính ch t ấ sau: +) P(∅) = 0; P(Ω) = 1; +) 0 ≤ P(A) ≤ 1 v i ớ m i ỗ bi n c ế ố A; P A 1   P  A +) v i ớ mỗi bi n c ế ố A. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Ví d :
ụ Trong túi có 3 quả bóng màu xanh và 2 quả bóng màu vàng, các quả bóng có kích thư c ớ và kh i ố lư ng ợ gi ng ố nhau. L y ấ đ ng ồ th i ờ ng u ẫ nhiên 2 quả bóng. Tính xác su t ấ cuả các bi n c ế ố: A: “Hai qu bóng l ả ấy ra không ph i
ả màu xanh và màu vàng”. B: “Hai qu bóng l ả ấy ra là màu xanh ho c ặ màu vàng”. C: “Hai qu bóng l ả ấy ra khác màu”. Hư ng d ớ ẫn gi i ả
Do trong túi chỉ có hai lo i
ạ bóng màu xanh và màu vàng nên khi l y ấ ng u ẫ
nhiên hai quả bóng trong túi thì hai quả bóng l y ấ ra ph i ả là bóng màu xanh ho c ặ màu vàng. Do đó bi n
ế cố A: “Hai quả bóng l y ấ ra không ph i
ả màu xanh và màu vàng” là bi n c ế ố không th , t ể c ứ là A = ∅. Suy ra P(A) = P(∅) = 0. Bi n
ế cố B: “Hai quả bóng l y ấ ra là màu xanh ho c
ặ màu vàng” luôn luôn x y ả ra. ⇒ B = Ω ⇒ P(B) = P(Ω) = 1.
Ta có 3 quả bóng màu xanh, 2 quả bóng màu vàng, nên trong túi có 3 + 2 = 5 quả bóng. 2
Khi lấy ngẫu nhiên ra 2 trong 5 quả bóng, ta có C 1  0 5 (cách).
Suy ra không gian m u Ω có 10 ph ẫ n t ầ . ử ⇒ n(Ω) = 10. Xét bi n ế cố C: “Hai qu bóng l ả y r ấ a khác màu”. Ta có bi n c ế ố đối c a C ủ là C : “Hai qu bóng l ả ấy ra cùng màu”. Suy ra hai qu bóng l ả y r
ấ a cùng là màu xanh hoặc cùng là màu vàng. + Hai quả bóng l y
ấ ra cùng là màu xanh, t c ứ là l y ấ đư c ợ 2 trong 3 quả bóng 2 màu xanh, có C 3 3  (cách). M i ọ thắc m c
ắ vui lòng xin vui lòng: 084 283 45 85