Bộ 52 đề thi HSG Toán 8 năm 2024 có đáp án

PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY
ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 12/09/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không tính thời gian phát đề)
Bài 1. (6,0 điểm) 1) Cho biểu thức 1 2 3 2023 2024 M = 1 − 2 + 2 − 2 + − 2 + 2 . Chứng minh rằng 2 025 1 + 2 M = . 3
2) Tìm x biết x +1 + x + 2 = 3 . x
Bài 2. (3,0 điểm) Cho đa thức f ( x) = ax + ,
b với a,b là các số nguyên, a  0. Biết giá
trị của đa thức tại x = 1 và x = 3 tỉ lệ với 2 và 2.
− Chứng minh rằng b chia hết cho . a
Bài 3. (4,0 điểm) 1 1 1 1 1
1) Chứng minh rằng A = + + + ... +  . 2 2 2 2 2 4 6 100 2 1 1
2) Tìm các số hữu tỉ dương x, y thỏa mãn x + y +
+ là một lũy thừa của 2. x y
Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB  AC), đường cao AH (H  BC).
Dựng HM ⊥ AB tại M , HN ⊥ AC tại N. Gọi I là giao điểm của AH với MN.
1) Chứng minh rằng A  MH = H
 NA và IM = IN.
2) Gọi O là trung điểm của BC, Q là giao điểm của HN và .
OA Chứng minh rằng AN  Q = HMB  và BQ // MN.
3) Gọi J là giao điểm của BQ và AH. Chứng minh rằng BJO = MNC.
Bài 5. (1,0 điểm) Khi trên bảng ghi 2023 số tự nhiên 1, 2, 3, , 2023, cần xóa đi ít
nhất bao nhiêu số để các số còn lại trên bảng có tính chất không có 3 số nào mà một
trong 3 số đó bằng tích của 2 số còn lại.
-----------HẾT-----------




PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY
ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8 Môn kiểm tra: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12/09/2023 Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm 1 2 3 2023 2024 M = 1− 2 + 2 − 2 + − 2 + 2 1,5 1 2 3 2024 2025
 2M = 2 − 2 + 2 − − 2 + 2 1 2025
 M + 2M =1+ 2 1,0 2025 1 + 2  M = . 0,5 3 1
VT  0 nên VP  0, do đó x  0. 1,0
x +1 0  x +1 = x +1    1,0 2
x + 2  0  x + 2 = x + 2 
 x +1+ x + 2 = 3x 0,5 x = 3 0,5 f ( ) 1 = a + ,
b f (3) = 3a + b . 0,5 a + b 3a + b 2 − a −a = = = 0,5 2 1 2 2 − 4 2
 a + b = −a  b = 2 − a 0,5
Do a, b là các số nguyên, a  0  b chia hết cho . a 0,5 1  1 1 1 1  A = 1 + + + + ... +   2 2 2 2 2 2  2 3 4 100  1  1 1 1 1  1,0 3 1  1 + + + + ... +   4  1.2 2.3 3.4 99.100  1  1  1 1 1 Suy ra A  1 + 1 − = −    4  100  2 400 2 1,0

Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm a c Có x = , y =
với a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn b d
(a,b) = (c,d) =1. 0,5
Khi đó, biểu thức đã cho viết lại thành cd ( 2 2
a + b ) + ab( 2 2 1 1 c + d ) x + y + + = . x y abcd
Từ yêu cầu bài toán ta có ( 2 2 + ) + ( 2 2 cd a b
ab c + d ) chia hết cho abcd. Suy ra ( 2 2
cd a + b ) chia hết cho . ab Từ (a b) =  ( 2 2 , 1
a + b , ab) = 1 cd chia hết cho . ab 0,5
Hoàn toàn tương tự có ab chia hết cho cd. Suy ra ab = cd. 2 2 2 2 + + + Khi đó 1 1 a b c d + + + = 2 x y . x y ab 1 1
Gọi n là số tự nhiên mà + + + = 2 .n x y x y n 1 1 Ta có 2  2 x 
+ 2 y  = 4  n  2. x y Mặt khác có 2 2 2 2 + + + = 2n a b c d a . b 0,5 Nếu 2 2 2 2
n  3  a + b + c + d chia hết cho 8.
Từ tính chất số chính phương khi chia cho 8, ta suy ra cả 4 số a, ,
b c, d đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với (a,b) = (c,d ) =1. Do đó n = 2. Khi đó 1 1 x =
 0, y =  0  x = y =1. 0,5 x y