Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh - Hải Phòng năm học 2022 - 2023 có đáp án

giải) SỞ GIÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ THÀNH PHỐ H I Ả PHÒNG CẤP THCS, NĂM H C Ọ 2022 - 2023 Đ Ề CHÍNH TH C Ứ Đ Ề THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể th i ờ gian giao đ ) ề (Đ ề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 28/03/2023
Bài 1. (2,0 điểm) 2 2 2 2 4 2 2  a a b a a b      4 a  a b A    : 2  2 2 2 2
a  a  b
a  a  b  b a  b  0 a) Rút g n ọ bi u ể th c ứ   (v i ớ ). 3 6 6 6 ...  6 1 5   6 27 3 6 6 ...  6 b) Ch ng ứ minh r ng ằ (trong đó bi u ể th c ứ ch a ứ căn có 2023 dấu căn ở t ử s
ố và 2022 dấu căn ở m u ẫ s ) ố . Bài 2. (2,0 đi m ể ) 2
x   m  2 4
1 x  4m  1 0  a) Cho phư ng ơ trình (v i ớ m là tham s ố ). x ,x x  0 x  x . Tìm m đ ể phư ng ơ trình có hai nghi m ệ 1 2 thoả mãn đi u ề ki n ệ 1 và 1 2   1  2  x 1 3   x y      .  1  2  y 1 1  x  y   b) Giải h ệ phư ng ơ trình    Bài 3. (2,0 đi m ể )
a) Tìm x nguyên dư ng ơ đ ể 3 2
4x  14x  9x  6 là số chính phư ng. ơ , x , y z b) Cho là các s ố th c ự dư ng ơ th a ỏ mãn x  . z Ch ng ứ minh rằng: 2 x  2z xz y 5    2
y yz xz yz x z 2. Bài 4. (3,0 đi m ể ) M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
giải) O Cho A  BC nh n ọ không cân t i ạ đ n ỉ h , A n i ộ ti p ế đư n ờ   . g tròn Kẻ đư n ờ g cao A  BC H BC AH   . P,Q c a ủ G i ọ l n ầ lư t ợ là chân đư n ờ g vuông góc k ẻ từ H đ n ế các AB , AC. đư n ờ g th n ẳ g a) Ch ng ứ minh t ứ giác BCQP n i ộ ti p ế . O b) Hai đư ng ờ th ng
ẳ PQ và BC cắt nhau t i ạ M, đư ng
ờ thẳng AM cắt đư ng ờ   tròn 2 MH M  K .M . A tại đi m
ể thứ hai là K (K khác A ). Ch ng ứ minh r ng ằ I ,H,K c) G i ọ I là tâm đư ng ờ tròn ngo i ạ ti p
ế tứ giác BCQP. Ch ng ứ minh ba đi m ể thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nh t ấ c a ủ c nh ạ m t
ộ hình vuông sao cho có th ể đ t ặ vào trong nó 5
hình tròn có bán kính b ng ằ 1, bi t ế r ng
ằ các hình tròn này đôi m t ộ không có quá m t ộ đi m ể chung. ---------H t- ế -------- (Cán b ộ coi thi không gi i ả thích gì thêm) H
ọ và tên thí sinh:..............................................Số báo danh:.............................................. Cán b
ộ coi thi 1:.................................................Cán b
ộ coi thi 2:......................................... M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
giải) SỞ GIÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ THÀNH PHỐ H I Ả PHÒNG CẤP THCS NĂM H C Ọ 2022 - 2023 Đ Ề CHÍNH TH C Ứ HƯ NG Ớ D N Ẫ CH M Ấ MÔN TOÁN Ngày thi: 28/03/2023 (Hư ng ớ
dẫn chấm gồm 05 trang) Bài Đáp án Điể m Bài 1 1a. (1,0 đi m ể ) (2 điểm) a  b  0 Với ta có 2 2 2 2 4 2 2  a a b a a b      4 a  a b A    : 2  2 2 2 2
a  a  b
a  a  b  b  
a  a  b 2  a a  b 2 2 2 2 2 2 b  . 0,25  2 2
a  a  b   2 2
a  a  b  4 2 2 4 a  a b 2 2 2  4a a  b b  . . 2 0,25 2 2 b 4a a  b a  0,25 a  1 khi a  0   0,25 1 khi a  0   1b. (1,0 đi m ể ) 3 6 6 6 ...  6 A  3 6 6 ...  6 Đặt 0,25
và a  6 6 ...  6 (v i ớ 2023 dấu căn). 2
suy ra a  6  6 6 ...  6 (v i ớ 2022 dấu căn) 3 a 1 A   1 2   3 a   6 3 a 0,25 Và
có a  6 6 ...  6 3 (v i ớ 2023 dấu căn) Ta M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
giải) Bài Đáp án Điể m 1 1  a  3     2 0,25 6 3 a 1 1 5 2,4  6  a      3 Ta có 3 a 3 2,4 27 1 5 0,25   3  A  . Từ   2 và suy ra 6 27 Bài 2 2 a. (1,0 đi m ể ) (2 điểm) x ,x
Giả sử 1 2 là các nghi m ệ c a ủ phư ng ơ trình đã cho. x   0 x   0  x x  x  0 0,25  1  1 2  1 2     x  x x x x x      x  0 Ta có  1 2  2 1 2    1 2   1 2 2 4  1  0 m m     4    0,25 4m 1 0    1   m      4  1 1   m    2 2   1 m    0,25   4 1 1    m  . 4 2 0,25 1 1   m  . Vậy 4 2 b. ( 1,0 đi m ể ) Giải h ệ phư ng ơ trình   1  2 x 1   3   x y      I   1  2 y 1 1  x  y     
x 0,y 0, x  y 0  . ĐKXĐ: I V i
ớ x 0, y 0 không thoả mãn hệ phư ng ơ   trình 0,25
 x  0, y  0 M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85