Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Bài 20. V t ị rí tư ng đ ơ i ố gi a hai ữ đư ng ờ th ng. G ẳ óc và kho ng cách ả A. Lý thuy t ế 1. V t ị rí tư ng đ ơ i ố gi a hai ữ đư ng ờ th ng ẳ - Mỗi đư ng ờ th ng ẳ trong m t ặ ph ng ẳ t a ọ độ là m t ộ t p ậ h p ợ nh ng ữ đi m ể có t a ọ độ th a ỏ mãn phư ng ơ trình c a ủ đư ng ờ th ng ẳ đó. Vì v y
ậ , bài toán tìm giao đi m ể c a ủ hai đư ng ờ th ng ẳ đư c ợ quy về bài toán gi i ả h ệ g m ồ hai phư ng ơ trình tư ng ơ ng. ứ Trên m t ặ ph ng t ẳ a ọ đ , xét ộ hai đư ng ờ th ng ∆ ẳ
1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0. Khi đó, t a ọ đ gi ộ ao đi m ể c a ∆ ủ 1 và ∆2 là nghi m ệ c a ủ h ph ệ ư ng ơ trình:  a x  b y  c 0  1 1 1  (*) a x  b y  c 0   2 2 2 ∆1 c t ắ ∆2 t i
ạ M(x0 ; y0) khi và chỉ khi h ( ệ *) có nghi m ệ duy nh t ấ (x0; y0). ∆1 song song v i ớ ∆2 khi và chỉ khi h ( ệ *) vô nghi m ệ .
∆1 trùng ∆2 khi và chỉ khi h ( ệ *) có vô số nghi m ệ . Chú ý:


  D a
ự vào các vectơ chỉ phư ng ơ u u n n 1 , 2 ho c ặ các vectơ pháp tuy n ế 1 , 2 c a ủ ∆1, ∆2 ta có:     + ∆ u u n n 1 và ∆2 song song ho c
ặ trùng nhau ⇔ 1 và 2 cùng phư ng ơ ⇔ 1 và 2 cùng phư ng. ơ M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả )     + ∆ u u n n 1 và ∆2 c t
ắ nhau ⇔ 1 và 2 không cùng phư ng ơ ⇔ 1 và 2 không cùng phư ng. ơ  
Nhận xét: Giả sử hai đư ng ờ th ng ẳ ∆ u u
1, ∆2 có hai vectơ chỉ phư ng ơ 1 , 2 (hay   hai vectơ pháp tuy n ế n n 1 , 2 ) cùng phư ng. K ơ hi đó: + N u ∆ ế 1 và ∆2 có đi m
ể chung thì ∆1 trùng ∆2. + N u t ế ồn t i ạ đi m ể thu c ộ ∆1 nh ng không t ư hu c ∆ ộ 2 thì ∆1 song song v i ớ ∆2.
Ví dụ : Xét vị trí tư ng đ ơ i ố gi a ữ hai đư ng t ờ h ng ẳ sau :
a) ∆1 : x + 2y – 5 = 0 và ∆2 : –x – 2y + 3 = 0.
b) ∆1 : 2x + y + 1 = 0 và ∆2 : 4x – y + 5 = 0 Hư ng d ớ ẫn gi i ả
 a) ∆ n (1;2) 1 có m t ộ vectơ pháp tuy n ế là 1 ; ∆2 có m t ộ vectơ pháp tuy n ế là
 n ( 1; 2) 2 .  
 
Vì n (1;2)  1( 1; 2)  1n n n 1
2 nên hai vectơ 1 và 2 cùng phư ng. ơ Do đó ∆1 và ∆2 có th s ể ong song ho c ặ trùng nhau. M t ặ khác, xét đi m ể A(1; 2) ta có:
1 + 2.2 – 5 = 0 nên A(1; 2) thu c đ ộ ư ng t ờ h ng ẳ ∆1;
–1 – 2.2 + 3 = –2 ≠ 0 nên A(1; 2) không thu c ộ đư ng t ờ h ng ẳ ∆2; V y
ậ ∆1 và ∆2 song song v i ớ nhau. b) Trên m t ặ ph ng ẳ t a đ ọ O ộ xy, xét hai đư ng ờ th ng ẳ
∆1 : 2x + y + 1 = 0 và ∆2 : 4x – y + 5 = 0. Khi đó, t a ọ đ gi ộ ao đi m ể c a ∆ ủ 1 và ∆2 là nghi m ệ c a ủ h ph ệ ư ng ơ trình: 2x  y 1  0  4x – y  5 0   Gi i ả h t ệ rên: M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) 2x  y 1  0 6  x  6  0 x  1     4x – y  5  0 y 4  x  5 y  9   
Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (– 1; – 9). V y ậ hai đư ng t ờ h ng ẳ ∆1 và ∆2 c t ắ nhau t i ạ đi m ể (– 1; – 9). 2. Góc gi a hai ữ đư ng ờ th ng ẳ - Hai đư ng ờ th ng ẳ c t ắ nhau t o ạ thành b n ố góc, s ố đo c a ủ góc không tù đư c ợ g i ọ là số đo góc (hay đ n ơ gi n l ả à góc) gi a hai ữ đư ng ờ th ng. ẳ - Góc gi a hai ữ đư ng ờ th ng s ẳ ong song ho c ặ trùng nhau đư c quy ợ ư c ớ b ng 0°. ằ Ví d : ụ Góc gi a ữ hai đư ng t ờ h ng
ẳ ∆1 và ∆2 trong hình sau là góc φ. - Cho hai đư ng ờ th ng ∆ ẳ
1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0.

 V i ớ các vectơ pháp tuy n ế n (a ;b ) n (a ;b ) 1 1 1 và 2 2 2 tư ng ơ ng. ứ Khi đó, góc φ gi a ữ hai đư ng ờ th ng đó đ ẳ ư c ợ xác đ nh t ị hông qua công th c: ứ   n . n 1 2 a a  b b     1 2 1 2 n . n 2 2 2 2 cos φ = |cos( n ,n 1 2 a  b . a  b 1 2 )| = = 1 1 1 1 . Chú ý:   +) ∆ n  n 1 ⊥ ∆2 ⇔ 1
2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0.  +) N u ế ∆ u u
1, ∆2 có các vectơ chỉ phư ng ơ 1 , 2 thì góc φ gi a ữ ∆1 và ∆2 cũng đư c ợ  
xác định thông qua công th c cos ứ φ = |cos( u ,u 1 2 )|. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85
Đây là bản xem th , vu ử i lòng mua tài li u ệ đ xe ể m chi ti t (c ế ó l i ờ gi i ả ) Ví d : ụ Tính góc gi a ữ hai đư ng ờ th ng
ẳ ∆1: 2x + 3y – 5 = 0 và ∆2: –x + 2y + 3 = 0 (làm tròn k t ế qu đ ả n đ ế ) ộ . Hư ng d ớ ẫn gi i ả
 Đư ng ờ th ng ẳ ∆ n (2;3) 1 có vectơ pháp tuy n ế là 1 ; đư ng ờ th ng
ẳ ∆2 có vectơ pháp
 tuy n l ế à n ( 1;2) 2 . G i ọ góc gi a hai ữ đư ng t ờ h ng
ẳ ∆1 và ∆2 là φ. Khi đó ta có:   n . n 1 2 2.( 1)  3.2     4 n . n 2 2 2 2 cos φ = |cos( n ,n 1 2 2  3 . ( 1)  2 1 2 )| = = = 65 . ⇒ φ ≈ 60°. V y ậ góc gi a hai ữ đư ng ờ th ng ∆ ẳ 1 và ∆2 kho ng 60°. ả 3. Khoảng cách t m ừ t ộ đi m ể đ n m ế t ộ đư ng t ờ h ng ẳ Cho đi m ể M(x0 ; y0) và đư ng ờ th ng
ẳ ∆: ax + by + c = 0. Kho ng ả cách t ừ đi m ể M đ n đ ế ư ng ờ th ng ∆ ẳ , kí hi u d ệ (M, ∆), đư c ợ tính b i ở công th c: ứ ax  by  c 0 0 d(M,)  2 2 a  b . Ví d : ụ Tính kho ng cách ả t đi ừ m ể M(1; 3) đ n ế đư ng t ờ h ng
ẳ ∆: 4x – 5y + 2 = 0. Hư ng d ớ ẫn gi i ả Áp d ng ụ công th c ứ tính kho ng ả cách t ừ đi m ể M(1; 3) đ n ế đư ng ờ th ng ẳ ∆: 4x – 3y + 2 = 0, ta có: 4.1 3.3  2 3 d(M,)   2 2 4  ( 3) 5 3 V y ậ kho ng cách ả t đi ừ m ể M(1; 3) đ n đ ế ư ng t ờ h ng
ẳ ∆: 4x – 3y + 2 = 0 b ng ằ 5 . B. Bài t p t ậ l ự uy n ệ
Bài 1. Xét vị trí tư ng đ ơ i ố c a ủ hai đư ng t ờ h ng: ẳ M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên h h
ệ otline: 084 283 45 85