Bộ 40 đề thi HSG Toán 6 có đáp án

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: Toán - Lớp 6
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 09 tháng 4 năm 2024
I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh)
Bài 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí nhất (nếu có thể):
1) 56 712 − 7 5080 − 7 1  28; 3  1 4 5  2) 0 5 : + −  ( ; − ) 6 2 2   2024 1  6 9 11  1 1 1 1 1 3) + + +...+ + . 2  6 4 9 6 12 36 57 38  60
Bài 2. (2,5 điểm) 1) Tìm x , biết: a) x x 1 2 3 5 3 +  +  =153; x + 2035 x + 2036 x + 2037 x + 2038 b) + = + . 11 12 13 14
2) Tìm cặp số nguyên ( x; y) thỏa mãn 2xy − x − y = 2 .
Bài 3. (1,5 điểm)
1) Cho a ; b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 7 ; b + 2025 cùng chia hết cho 6 . Chứng minh
rằng 4a + a + b chia hết cho 6 .
2) Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng 2n +1 và 3n +1 đều là các số chính phương.
Bài 4. (2,0 điểm)
1) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 20m , chiều rộng bằng 3 chiều dài. Người ta làm 4
một lối đi xung quanh vườn rộng 1m , phần còn lại để trồng cây. Tính diện tích phần trồng cây.
2) Cho đoạn thẳng AB có độ dài 6cm . Lấy điểm M nằm giữa hai điểm A và B . Gọi I và K
lần lượt là trung điểm của AM và BM . Tính độ dài đoạn thẳng IK . 1 1 1 1 a b c
3) Cho a + b + c = 2024 và + + = . Tính M = + + . a + b b + c c + a 2024 b + c c + a a + b II. PHẦN RIÊNG
1. Dành cho thí sinh bảng A
Bài 5. (2,0 điểm)


1) Cho k là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên có dạng 1011k −1 chia hết cho 2024 .
2) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2
60cm . Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho 1 1 BM =
BC , trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN =
AC . Gọi I là giao điểm của AM và 3 2
BN . Tính diện tích tam giác AIN .
2. Dành cho thí sinh bảng B
Bài 5. (2,0 điểm) 3 8 15 24 2499 1) Cho B = + + + +...+
. Chứng tỏ rằng giá trị của B không phải là số tự nhiên. 4 9 16 25 2500
2) Cho tam giác ABC vuông tại A , AB = 50cm , AC = 40cm . Một đường thẳng song song với
AC cắt AB và BC lần lượt tại D và E , AD = 10cm . Tính DE .
---------- HẾT ----------

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2023-2024
Môn thi: Toán - Lớp 6 Bài
Lời giải sơ lược Điểm 1.1. (0,5 điểm)
56 712 − 7 5080 − 7 1
 28 = 56712 −56500 −56 1  2 0,25
= 56(712 −500 −12) = 56200 =11 200 0,25 1.2. (0,75 điểm) 3  1 4 5  0 5 : + −  ( − ) 6 2 2   2024 1  6 9 11   37 22 27  = 1: 3 + −    0,25  6 9 11  1  37  = + − 6   0,25 3  6  2 1 3 1 = + = = 0,25 6 6 6 2 1.3. (0,75 điểm) 1 1 1 1 1 + + +...+ + 2  6 4 9 6 12 36 57 38  60 1  1 1 1 1 1  =  + + + ...+ +   0,25 2  3  1 2 2  3 3 4 18 19 19  20  1  1 1 1 1 1 1 1 1 1  = 1− + − + − + ...+ − + −   0,25 2  3  2 2 3 3 4 18 19 19 20  1  1  = 1 19 19 1−   =  = 0,25 6  20  6 20 120 2.1.a. (0,75) x x 1 2 3 5 3 +  +  =153 2 3x 15 3x  +  =153 0,25 17 3x  =153 0,25 3x = 9 0,25 Vậy x = 2

2.1.b. (0,75 điểm) x + 2035 x + 2036 x + 2037 x + 2038 + = + 11 12 13 14  x + 2035   x + 2036   x + 2037   x + 2038  −1 + −1 = −1 + −1         0,25  11   12   13   14  x + 2024 x + 2024 x + 2024 x + 2024 + − − = 0 0,25 11 12 13 14 (   x + ) 1 1 1 1 2024 + − − = 0   11 12 13 14  0,25 x + 2024 = 0 Vậy x = 2024 − 2.2. (1,0 điểm)
2xy − x − y = 2 x (2y − ) 1 − y = 2 0,25 2x (2y − ) 1 − (2y − ) 1 = 5 0,25 (2x − ) 1 (2y − ) 1 = 5 0,25
Vì x nguyên nên 2x −1 là ước của 5 . Ta có bảng sau: 2x −1 5 − −1 1 5 2 y −1 −1 5 − 5 1 0,25 x −2 0 1 3 y 0 −2 3 1
Vậy các cặp số nguyên ( x; y) phải tìm là ( 2
− ;0) ; (0;− 2) ; (1;3) ; (3; ) 1 . 3.1. (0,75 điểm)
Vì a + 7 ; b + 2025 chia hết cho 6 nên a và b đều là số lẻ
Suy ra a + b chia hết cho 2 0,25
Do 4 nguyên dương nên 4a chia hết cho 2
 4a + a + b chia hết cho 2 ( ) 1
Vì a + 7 ; b + 2025 chia hết cho 6
Nên a + 7 + b + 2025 chia hết cho 6 0,25
Suy ra (a + b + ) 1 + 2031 chia hết cho 3
Do đó a + b +1 chia hết cho 3 (vì 2031 chia hết cho 3 )
Vì 4 chia cho 3 dư 1 nên 4a chia cho 3 dư 1 0,25