Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 10 Hệ thức lượng trong tam giác (có lời giải)

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ ❸. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
⬩PHẦN ❷. TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⬩PHẦN ❸. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG; SAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⬩PHẦN ❹. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1
CHỦ ĐỀ ❸. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN Câu 1:
Từ một tấm bìa hình tròn, bạn An cắt ra được một hình tam giác có các cạnh
AB  8 cm, BC  15 cm và góc B 60 
(Hình 4). Tính độ dài cạnh AC và bán kính R của miếng bìa. Lời giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có: 2 2 2
AC  AB  BC  2AB  BC cos B 2 2 8 15 2 8 15 cos 60        169.
Suy ra AC  169 13( c ) m .
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: AC  2R . sin B AC 13 13 3 Suy ra R    ( c ) m . 2sin B 2sin 60 3 Câu 2:
Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị
trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA . Biết AC 25 ,
m BAC 59,95, BCA 82,15    (Hình 6).
Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải
Xét tam giác ABC , ta có: 2
ABC 180 59,95 82,15 37,9     . 25sin82,15
Áp dụng định lí sin ta có: AB  AC . Do đó AB   40( m) . sin C sin B sin 37,9 Câu 3:
Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến A và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo
hai hướng tạo với nhau góc 75 . Tàu thứ nhất đi với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai đi
với tốc độ 12 hải lí một giờ. Hỏi sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí
(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải
Giả sử sau 2,5 giờ tàu thứ nhất ở vị trí B và tàu
thứ hai ở vị trí C (Hình 7). Ta có:
AB  2,58  20 (haûi lí);
AC  2,512  30 (haûi lí). Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có: 2 BC  2 AB  2
AC  2AB AC cosBAC 2 2 
 20  30  22030cos75  989,42.
Suy ra BC  989,42  31,5 (hải lí). Vậy khoảng cách giữa hai tàu sau 2,5 giờ là khoảng 31,5 hải lí. Câu 4:
Người A đứng ở đỉnh của tòa nhà và quan sát chiều diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiên
giữa phương từ mắt của người A tới chiếc diều và phương nằm ngan) là   35; khoảng
cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt người A là 1,5m. Cùng lúc đó ở dưới chân tòa nhà, người B cũng
quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là   75; khoảng cách từ mặt đất đến mắt người B
cũng là 1,5m. Biết chiều cao của tòa nhà là h  20m (hình 8).
Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? 3 Lời giải
Đặt tên các điểm như Hình 9.
Xét tam giác MND , ta có: MN  h  20 m ;  MND  90      90  35  125 ,  NMD  90       90  75  15 ,    
MDN  180 125 15  40 .
Áp dụng định lí sin cho tam giác MND ta có:
MD  ND  MN .
sin N sin M sin D
MN sin N 20sin125 Suy ra MD    25,5( )
m . Xét tam giác vuông MHD ta có: sin D sin 40  
HD  MDsin 75  25,5sin 75  24,6( m). Do ñoù, DE 1,5 24,6  26( m).
Vậy con diều bay cao khoảng 26 m so với mặt đất. Câu 5:
Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị
trí A đến vị trí C và tiến hành đo các góc BAC, BCA . Biết AC 25 ,
m BAC 59,95; BCA 82,15   
. Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B là bao
nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải
Xét tam giác ABC , ta có: BAC 59,95; BCA 82,15   . 4