Đề thi HSG Toán 10 năm 2025-2026

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2025 - 2026
(Đề thi có 02 trang, gồm 6 câu) Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (5,0 điểm)
a) Giải phương trình  x   x   2 2 3
1 x  x  4x  3  2x . b) Cho hàm số 1 y 
, với m là tham số. Tìm số giá trị nguyên của m thuộc 2
4x  4m  3 2
x  m  6m
khoảng 2025;2026 để hàm số đã cho xác định trên tập 2;  1  4;6. Câu 2. (5,0 điểm)
a) Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định bán hai loại xe máy là xe Lead và xe Vision,
với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi
nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự
kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1100 chiếc
xe cả hai loại, trong đó nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận dự kiến có
thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu triệu đồng?
b) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 .
Gọi T là tập các số thuộc S và mỗi số đó nhỏ hơn 25000. Tìm số phần tử của S và số phần tử của T . Câu 3. (5,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A và có trọng tâm G . Biết rằng các đỉnh A
và B cùng nằm trên trục hoành, đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình 4x 3y 12  0 , diện tích tam
giác ABG bằng 8. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh BC  a, AC  b, AB  c . Gọi M là trung điểm của cạnh AC và
D là chân đường phân giác trong góc A . Giả sử đường thẳng AD cắt đường trung tuyến BM tại điểm H
sao cho AH là đường cao của tam giác ABM . Tính giá trị tanA , biết rằng tỉ số giữa độ dài đường trung
tuyến BM và độ dài đường phân giác AD bằng 3 . 2 Câu 4. (2,0 điểm)
Bác Hùng có một khu vườn hình thang vuông ABCD với AB  45m, AD  30m . Bác ấy đã đào một cái hồ
để trồng sen, hồ được bao bởi cạnh BC và đường cong BIC là một phần của đường parabol đỉnh I như hình vẽ.
Bác Hùng muốn làm một con đường đi từ điểm M trên cạnh AD ra một điểm trên mép hồ sen rồi lại từ
điểm đó tới một điểm trên cạnh AB . Biết khoảng cách từ I đến AB và AD tương ứng là 20m và 25m , hỏi
tổng chiều dài con đường đó ngắn nhất là bao nhiêu mét? Câu 5. (1,5 điểm)
Cho tập X  1;2;3;4;5;6; 
7 và lục giác đều ABCDEF tâm O . Có bao nhiêu cách đặt các chữ số trong tập
X vào các đỉnh và tâm của lục giác sao cho mỗi vị trí chứa đúng một số (hai vị trí khác nhau đặt hai số khác
nhau) đồng thời số ở tâm là một số lẻ và tổng 3 số trên 3 điểm thẳng hàng bằng nhau. Câu 6. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các hàm số f x 2
 ax  bx  c a  0 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây: f  
1  f 0 và f  f  
1   f  f 0  f  f   1 . -----–HẾT–-----
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. a) (2.5 điểm)
Điều kiện x  1. Với x  1
  x  3  x 1  0 .
 x  x  2 2 3
1 x  x  4x  3  2x
  x   x   2 2 3
1 x  x  4x  3 x3  x1  2x x3  x1     2 2
3 1 x  x  4x  3  2x x3  x1 2 2
 x  x  4x  3  x  x  3  x 1 2
 x  x x  3  x  3x   1  x x 1  0     
 x  x  x  x   x x 3 0 3
1  0  x x10 x  0 x  0 +) 1 13
x  x  3  0  x  3  x      x  . 2 2 x  3  x
x  x  3  0 2 x  0 x  0 +) 1 5
x  x 1  0  x 1  x      x  . 2 2 x 1  x
x  x 1  0 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm 1 13 1 5 x  ,x  . 2 2 b) (2.5 điểm)  m  6 x   Điều kiện xác định: 2
x  m   2 4 4
3 x  m  6m  0   x  m   x  m 2 2 6 2  0   .  m x   2
Suy ra tập xác định của hàm số là 
m   m  6 D ; ;         .  2   2 
Hàm số xác định trên tập 2; 
1  4;6  2;1 4;6  D . TH1:  2;  1 4;6  ; m       6 m   m   12 .  2  2 TH2:      m  6  m  6 2;1 4;6  ;   2  m     10 .  2  2   2;1      ; m  1  m   2     2 m  2 TH3:       m  2 .   m  6  m  6 m    2 4;6   ;    4   2     2
Số giá trị nguyên của m2025;2026 là:  1  0  2  024   1  202512   1 1 4030 . Câu 2. a) (2.5 điểm)
Gọi x, y lần lượt là số xe máy Lead và số xe máy Vision nhập về x, y  0, x, y   .
Lợi nhuận dự kiến là F x; y  5x  3,2y (triệu đồng).
40x  30y  36000 
x  y  1100 Hệ điều kiện:  . x 1,5y 
x  0, y  0
Miền nghiệm của hệ là tứ giác OABC với O0;0, A600;400, B 300;800 ,C 0;1100  .
Ta có: F 0;0  0, F 600;400  4280, F 300;800  4060, F 0;1100  3520 .
Lợi nhuận lớn nhất là 4280 triệu đồng khi x  600, y  400 . b) (2.5 điểm)
Số n  abcdeS .