Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 10 Vecto (có lời giải)

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ ❹. VECTO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
⬩PHẦN ❷. TRẮC NGHIỆM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⬩PHẦN ❸. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG; SAI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
⬩PHẦN ❹. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1 CHỦ ĐỀ ❹. VECTO
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN
Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác OBC vuông tại O , biết rằng trung điểm của cạnh BC là
M 3;4 . Tính độ dài BC . Lời giải
Vì tam giác OBC vuông tại O nên trung tuyến OM có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh BC .  Mà OM    2 2
3;4  OM  3  4  5  BC  2OM 10 . Đáp số: 10.
Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hình bình hành ABCD biết A2;  1 , B6; 
1 , D0;3 . Tính BAC . Lời giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD . Suy ra I là trung điểm AC và BD . Do đó I 3;2 và         A . cos cos cos , B AI BAC BAI AB AI  . A . B AI    
Mà AB  4;0  AB  4 , AI  1; 
1  AI  2 và A . B AI  4 nên 4 2 cos BAC   . 4 2 2 Vậy BAC  45 .
Đáp số: BAC  45
Câu 3: Người ta muốn làm một khung cửa hình chữ nhật ABCD có AB rộng 3 mét, BC dài 4 mét (như hình vẽ).
Biết rằng đoạn BE dài 1 mét và EFGH là hình chữ nhật và BF  FC , hỏi độ dài đoạn EF là
bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng phần trăm.) Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ Oxy vào hình chữ nhật ABCD như hình vẽ.
Ta có B0;0 , A0;3 , C4;0 , E 0;  1 . 2
Điểm F thuộc trục Ox , nằm giữa B và C sao cho BF  FC nên F x;0 với 2  x  4 .
Điểm G thuộc cạnh CD  Ox nằm giữa C và D nên G 4; y với 0  y  3.
Gọi I là giao của EG và FH thì I là trung điểm EG và FH .       Do đó 1 OI
OE OG  y1 2;    
 OH  2OI  OF  4  x; y    
1 hay H 4  x; y   1 . 2  2 
Mà H thuộc cạnh AD  Oy nên y 1  3  y  2  G 4;2 (thỏa mãn).  
Khi đó GF   x  4;2 và EF   x; 
1 . Mà GF  EF nên     
GF  EF   x x   x 2 2 (t/m) 0
4  2  0  x 2 2 (không t/m). Do đó 2 2
EF  BE  BF  3,56 . Đáp số: 3,56 mét.
Câu 4: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N là các điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng AM CN
AB và CD sao cho 1  ; 1
 . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN , I là AB 3 CD 2   điểm xác định bởi a
BI  BC với ,  , a a b
là phân số tối giản. Khi đó để A , I , G b b
thẳng hàng thì tổng a  b bằng bao nhiêu? Lời giải  
Giả sử BI  kBC .    
Phân tích AI , AG theo hai vectơ không cùng phương AB , AC .          
Ta có: AI  AB  BI  AB  kBC  AB  k AC  AB  1k AB  k AC . G là trọng tâm của tam giác BMN nên 
  
 1  1  1     
3AG  AB  AM  AN  AB  AB  AC  AD 1 1 1
 AB  AB  AC  BC 3 2 2 3 2 2
4  1  1    
 AB  AC   AC  AB 5  AB  AC . 3 2 2 6    hay 5 1 AG  AB  AC . 18 3  
Ba điểm A , I , G thẳng hàng khi và chỉ khi AI , AG cùng phương.
Khi đó, ta có 1 k k 1     k  5 6 1 a  a b  5 1  k  k  suy ra 6 nên 17. 3 18 11 b 11 18 3 3  
Câu 5: Một vật đang ở vị trí O chịu hai lực tác dụng ngược chiều nhau là F và F , trong đó độ 1 2  
lớn lực F lớn gấp đôi độ lớn lực F . Người ta muốn vật dừng lại nên cần tác dụng vào 2 1   
vật hai lực F , F có phương hợp với lực F các góc 30 như hình vẽ, chúng có độ lớn 3 4 1 
bằng nhau và bằng 50 3 N . Tìm độ lớn của lực F . 2 Lời giải    Ta có: F  2
 F . Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng 0 . 2 1             
 F  F  F  F  0  F  2F  F  F  0  F  F  F . 1 2 3 4 1 1 3 4 3 4 1         Đặt F  O ,
A F  OB, F  OC, F  OD . 1 2 3 4      
Ta có: F  F  F  OC  OD  OA . Do đó OCAD là hình bình hành. 3 4 1
Mặt khác: OC  OD  50 3
và COD  30  30  60 nên OCAD là thoi. Khi đó:   
F  OA  50 3. 3  150N nên F  2 F  300 N . 1 2 1
Câu 6: Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB  200 m ,
AD 180 m , người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên
bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m , cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C
khoảng cách 30 m. Tính khoảng cách từ vị trí cột thứ hai đến bờ AB . Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho (
A 0;0), B(200;0),C(200;180), D(0;180) . Gọi vị trí các cột
điện được trồng là C ,C ,C ,C . 1 2 3 4 4 x