Đề chọn HSG môn Toán 6 năm 2022 - 2023 có đáp án ( Đề 10 )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 ĐỀ SỐ 10 Bài 1( 8 điểm )
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999
2. Cho A= 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5. 3 . Cho phân số ( ahay bé hơn ? 4. Cho số
có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các
chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: a) b) Bài 2( 2 điểm )
Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm)
a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a
b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b).

ĐÁP ÁN Bài 1:
1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm )
Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999
Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm )
Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999
Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27
Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm )
2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5
Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận
cùng của từng số hạng.
Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7
Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm )
Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm ) Theo bài toán cho a
 ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm )  a(b+m) < b( a+m)  4.(1 điểm )
Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và
vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp
nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6.


Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy :
+A 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm )
+ A 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :
1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm )
+ A 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.
{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A 396 5(4 điểm ) a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm )  2A= (0,5 điểm )  2A+A =3A = 1- (0,75 điểm )  3A < 1  A < (0,5 điểm ) b) Đặt A= 3A= 1- (0,5 điểm )  4A = 1-  4A< 1- (1) Đặt B= 1-  3B= 2+ (0,5 điểm ) 4B = B+3B= 3- < 3  B < (2)
Từ (1)và (2)  4A < B <  A < (0,5 điểm ) Bài 2 ( 2 điểm )