Đề chọn HSG môn Toán 6 năm 2022 - 2023 có đáp án ( Đề 4 )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 ĐỀ 4 Câu 1. ( 2,0 điểm)
Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tìm chữ số tận cùng của A. Câu 2. ( 1,0 điểm)
Số tự nhiên n có 54 ước. Chứng minh rằng tích các ước của n bằng n27. Câu 3. ( 1,5 điểm)
Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. Câu 4. ( 1,0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p + q và pq + 11 cũng là các số nguyên tố. Câu 5. ( 1,5 điểm)
a) Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tìm điều kiện của n để hai số đó nguyên tố cùng nhau.
b) Tìm hai số tự nhiên biết: Hiệu của chúng bằng 84, ƯCLN của chúng bằng 28 và các số đó trong khoảng từ 300 đến 440. Câu 6. ( 1,0 điểm)
Tìm các số nguyên x, y sao cho: xy – 2x - y = -6. Câu 7. ( 2,0 điểm)
Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a. Tính BD. b. Biết .
c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK.


Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Đáp án Điểm
A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 221. 0,5 Nên A.2 - A = 221 -2 Câu 1 0,5  A = 221 - 2
(2,0 điểm) Ta có : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2
... 165 có tận cùng là 6 . Nên 165 . 2 có tận cùng là 6. 2 có tận cùng 0,5 là 2. 0,5 Vậy A có tận cùng là 2. Gọi d Câu 2.
1 ; d2 ; d3 ;….; d54 là các ước của n theo thứ tự (trong đó d 1 ; d2 ; d3 ;….; 0,25 d54 đôi một khác nhau) (1,0 điểm) Ta có n = d 0,25
1.d54 = d2.d53 = d3.d52 = …. = d27.d28 (có 27 tích cặp số)
=> Tích các ước của n là: 0,25
(d1.d54 ).(d2.d53 ). (d3.d52 ).…. (d27.d28) = = n27 0,25
Với mọi số tự nhiên n ta có các trường hợp sau:
TH1: n chia hết cho 5 thì tích chia hết cho 5. 0,25
TH 2: n chia cho 5 dư 1 thì n = 5k +1
 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25 Câu 3
TH3: n chia cho 5 dư 2 thì n = 5k +2
(1,5 điểm)  2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25
TH4: n chia cho 5 dư 3 thì n = 5k +3
 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25
TH 5: n chia cho 5 dư 4 thì n = 5k +4
 n +1= 5k + 5 chia hết cho 5  tích chia hết cho 5. 0,25
Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n. 0,25 Câu 4
Nếu pq + 11 là số nguyên tố thì nó phải là số nguyên tố lẻ ( vì pq (1,0 điểm) + 11 > 2)
 pq là số chẵn  ít nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2. 0,25
+ Giả sử p = 2. Khi đó 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) 0,25
q > 3 có 1 số là hợp số.

 p = 2 và q = 3. 0,25
+ Giả sử q = 2. Giải TT như trên ta được p = 3.
Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2. 0,25
a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*)
Ta có: 7n +3 d, 8n - 1 d.
 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) d  31 d  d = 1 hoặc 31. 0,25
Để hai số đó nguyên tố cùng nhau thì d ≠ 31.
Mà 7n + 3 31  7n + 3 - 31 31 7(n - 4) 31
 n – 4 31( vì 7 và 31 nguyên tố cùng nhau)
 n = 31k + 4( với k là số tự nhiên)
Do đó d ≠ 31 n ≠ 31k + 4.
Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyên tố cùng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là số tự nhiên). 0,25 Câu 5
b) Gọi hai số phải tìm là a và b ( a, b  N* , a > b) 0,25
Ta có: ƯCLN(a, b) = 28 nên a = 28k và b = 28q . Trong đó k, q N*và k, q
(1,5 điểm) nguyên tố cùng nhau. Ta có : a - b = 84 0,25  k - q = 3
Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440  10 < q < k <16.
Chọn hai số có hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. 0,25
Chỉ có 11 và 14 là hai số nguyên tố cùng nhau. nên q = 11và k = 14.
Ta có : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392
Vậy hai số phải tìm là 308 và 392. 0,25
xy – 2x - y = -6 (x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyên, ta có bảng: 0,5 x - 1 -1 1 -2 2 -4 4 y - 2 4 -4 2 -2 1 -1 Câu 6 x 0 2 -1 3 -3 5 (1,0 điểm) y 6 -2 4 0 3 1
Vậy các số x, y thỏa mãn là: ( x,y) 0,5 {( 0;6); (2;-2); (-1;4)…} 0,25 y C Câu 7 (2,0 điểm) D A B x a) Tính BD
Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax A nằm giữa D và B