Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Amsterdam - Hà Nội

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HÀ NỘI AMSTERDAM
KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT MÔN: TOÁN - LỚP 11
Thời gian làm bài : 180 phút
(Đề thi gồm:01 trang) Bài 1. Cho dãy số
xác định bởi công thức giới hạn của dãy với Tìm
Bài 2. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện
Bài 3. Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. A thay đổi trên cung BC lớn. Gọi I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm P sao cho . Trên tia đối
của tia IC lấy điểm Q sao cho
. Gọi N là trung điểm PQ.
a) Chứng minh IN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi M là trung điểm IA. Chứng minh M, N, O thẳng hàng.
Bài 4. Tìm tất cả các số thực là nghiệm của phương trình sau
Bài 5. Cho A là tập hợp gồm 290 số nguyên dương phân biệt, trong đó bất kỳ 3 số nguyên dương
phân biệt nào cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác không tù. Ký hiệu là tổng các phần
tử trong tập hợp A. Tìm .
………………………. HẾT ………………………. 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HÀ NỘI AMSTERDAM
KHU VỰC DUYÊN HẢI & ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MÔN: TOÁN - LỚP 11
Thời gian làm bài : 180 phút
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT KHỐI 11 Bài 1. Cho dãy số
xác định bởi công thức Tìm giới hạn của dãy với Lời giải: Suy ra và Vậy ta có: 2 Với ta có Suy ra
Bài 2. Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện Lời giải: Đặt Ta có (1) Cho vào (1) ta được Với ta được Ta chứng minh với mọi
Rõ ràng khẳng định đúng với n=1. Giả định khẳng định đúng với mọi Khi đó 3
Vậy khẳng định đúng với n.
Trong (2) thay x bởi ta được
Vì vậy áp dụng (2) ta có Do đó trong đó
Ta kiểm tra hàm số vừa tìm thỏa yêu cầu của bài toán. Thực vậy:
Bài 3. Cho đường tròn (O) và dây BC cố định. A thay đổi trên cung BC lớn. Gọi I là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC. Trên tia đối của tia IB lấy điểm P sao cho . Trên tia đối
của tia IC lấy điểm Q sao cho
. Gọi N là trung điểm PQ.
a) Chứng minh IN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Gọi M là trung điểm IA. Chứng minh M, N, O thẳng hàng. Lời giải:
a) Chứng minh IN luôn đi qua một điểm cố định. V A R M N P S T Q O I L B D C U
Gọi U, R, S, V lần lượt là điểm chính giữa các cung BC, CA, AB và BAC. 4