Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN HỌC – KHỐI 11
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ, T. HÀ
Thời gian làm bài 180 phút NAM
(Đề này có 5 câu; gồm 1 trang) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu 1. (2,0 điểm) Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 2 (2,0 điểm) Xét các đa thức Gọi là đa
thức dư khi chia đa thức cho Chứng minh rằng Câu 3 (3,0 điểm) Cho
không cân. Các đường phân giác ngoài của các góc cắt các
cạnh đối diện lần lượt tại . Gọi
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp . a) Chứng minh các điểm thẳng hàng. b) Chứng minh . Câu 4 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho . Câu 5 (1,0 điểm) Cho tập hợp
. Hãy tìm số m nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập
con chứa m phần tử của M đều tồn tại ít nhất hai số
mà số này là bội của số kia. ----- Hết -----
Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: ...................................
Họ và tên giám thị số 1: ................................................. Chữ ký: ..............................
Họ và tên giám thị số 2: ................................................. Chữ ký: .............................. 2
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN HỌC – KHỐI 11 Ngày thi 16/07/2024
(Hướng dẫn chấm này gồm có 4 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu 1. (2,0 điểm): Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn chấm Ý Nội dung Điểm Ta chứng minh . Thật vậy ta có . Giả sử , khi đó nên. 0,5 .
Do đó theo nguyên lý quy nạp thì . Xét hàm số trên khoảng . 0,5 Ta có . Do đó hàm số
đồng biến trên khoảng . Mặt khác ta có . Giả sử . . 0,5 Do đó  Dãy
là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy có giới hạn hữu hạn. Giả sử . Từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta được:. 0,5 . . Vậy . Câu 2 (2,0 điểm): Xét các đa thức Gọi là đa thức dư khi chia đa thức cho Chứng minh rằng 3 Hướng dẫn chấm Ý Nội dung Điểm Đặt với Thay và vào hai vế ta có suy ra 0,5
Lấy đạo hàm hai vế ta có 0,5 Thay và vào hai vế ta có 0,5 Vậy nên ta được Mà 0,5 Nên
Câu 3 (3,0 điểm): Cho
không cân. Các đường phân giác ngoài của các góc
cắt các cạnh đối diện lần lượt tại . Gọi
lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp . a) Chứng minh các điểm thẳng hàng. b) Chứng minh . Hướng dẫn chấm Ý Nội dung Điểm a) C' B' A E F MI C A' B D O 4