Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Chu Văn An - Bình Định

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TỈNH BÌNH ĐỊNH
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
ĐỀ THI MÔN: TOÁN – LỚP 11 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1. (4 điểm) Cho dãy số được xác định bởi và . a. Chứng minh rằng . b. Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn.
Bài 2. (4 điểm) Cho hàm số
thỏa mãn các điều kiện: (i) ; (ii) với mọi . Kí hiệu
là số nguyên lớn nhất không vượt quá . Hãy tính .
Bài 3. (4 điểm) Cho tam giác nhọn ( ) có trung tuyến và các đường cao . Gọi
và lần lượt là trung điểm của
. Điểm thuộc đường thẳng sao cho . Chứng minh rằng .
Bài 4. (4 điểm) Cho dãy Fibonacci được xác định bởi và . Hãy
tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho .
Bài 5. (4 điểm) Tại một cuộc thi có
thí sinh. Biết rằng, hai thí sinh bất kì hoặc quen nhau hoặc không
quen nhau, và không có ba thí sinh nào đôi một quen nhau. Xác định giá trị lớn nhất của
sao cho các điều kiện sau đây thỏa mãn:
• Mỗi thí sinh quen tối đa thí sinh khác, và có ít nhất một thí sinh quen đúng thí sinh khác.
• Với mọi số nguyên dương mà
, tồn tại ít nhất thí sinh quen đúng thí sinh khác.
----------HẾT----------
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
TRƯỜNG THPT CHUYÊNKỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU VĂN AN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TỈNH BÌNH ĐỊNH
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
ĐỀ THI MÔN: TOÁN – LỚP 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài
Đề bài và lời giải Điểm Bài 1 Cho dãy số được xác định bởi và . 4 a. Chứng minh rằng . b. Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn. a. Ta sẽ chứng minh (1) đúng với mọi
, bằng phương pháp quy nạp: 0,5 • Ta có , do đó (1) đúng với . 0,5
• Giả sử (1) đúng với , tức là .
• Từ CTTH ta có biến đổi 1
Điều này có nghĩa là (1) đúng với .
Như vậy theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm. 0,5
b. Từ công thức truy hồi, ta dễ dàng thấy và là dãy tăng. Với , ta có . Khi đó 0,5 . Như vậy . Với , ta có 1 Suy ra . Điều này có nghĩa là bị chặn. Như vậy
có giới hạn hữu hạn, đpcm. Bài 2 Cho hàm số
thỏa mãn các điều kiện: (i) ; 4 (ii) với mọi . Kí hiệu
là số nguyên lớn nhất không vượt quá . Hãy tính . Giả sử
. Ta sẽ chứng minh công thức 1 (1)
bằng phương pháp quy nạp theo . 0,5 • Với dễ thấy (1) đúng.
• Giả sử (1) đúng với mọi . • Xét ta có 0,5 . Nếu thì
. Theo giả thiết quy nạp, ta có 0,5 0,5 . Nếu thì . Theo giả thiết quy nạp, ta có 0,5 . Nếu thì . 0,5 Tóm lại (1) đúng với
. Theo nguyên lý quy nạp thì công thức (1) đúng. Ta có , trong đó . Do đó .
Bài 3 Cho tam giác nhọn ( ) có trung tuyến và các đường cao
. Gọi và lần lượt là trung điểm của . Điểm 4 thuộc đường thẳng sao cho . Chứng minh rằng . 0,5 Dễ thấy tam giác
nội tiếp đường tròn đường kính hơn nữa 1,5
ta có kết quả quen thuộc: tiếp xúc với lần lượt tại . Xem điểm
như là một đường tròn tâm
bán kính và đặt nó là , ta có: •
có cùng phương tích đối với và . 1 •
có cùng phương tích đối với và . Suy ra
là trục đẳng phương của và .