Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Chu Văn An - Hà Nội

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT HÀ NỘI
CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023- 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI: TOÁN LỚP 11
Ngày thi: ... tháng 7 năm 2024
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 (4 điểm) Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh dãy
có giới hạn hữu hạn.
Câu 2 (4 điểm) Gọi là tập hợp các đa thức bậc
có hệ số cao nhất bằng và có
nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại
đa thức thuộc sao cho tổng một số đa thức bất kỳ trong
đa thức đó đều là một đa thức có nghiệm phân biệt.
Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác
(nhọn) nội tiếp đường tròn , có trực tâm . Gọi
là điểm đối xứng của qua
, là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là điểm trên cung lớn
của đường tròn ngoại tiếp tam giác , đường thẳng cắt tại .
Chứng minh khi di chuyển trên cung lớn của thì trực tâm tam giác
chuyển động trên một đường cố định.
Câu 4 (4 điểm) Cho số nguyên tố . Xét tập . Số
gọi là “đẹp” nếu với mọi số thì
. Chứng minh rằng có hữu hạn các số “đẹp”. Câu
5 (4 điểm):. Cho số nguyên dương Gọi
là tập các số nguyên nhỏ hơn
và nguyên tố cùng nhau với Gọi
là số lớn nhất đồng thời thuộc Cho
tập số nguyên dương có vô hạn phần tử và thoả mãn có số thoả mãn . Chứng minh tồn tại sao cho
………………………. HẾT ……………………. ĐÁP ÁN Câu 1. Cho dãy số xác định bởi . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn. Bài làm: Ta có nên ta được suy ra cả hai dãy
đều giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn lần lượt là . Ta có
nên chuyển qua giới hạn ta được dẫn đến a=0 hoặc b=0. + ta chứng minh nên suy ra b=0.
+ Dùng nguyên lí kẹp ta chứng minh được
từ đó chứng minh được a=0.
Câu 2. Gọi là tập hợp các đa thức bậc
có hệ số cao nhất bằng và có nghiệm
phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại 20 đa thức thuộc sao cho tổng một số đa thức bất
kỳ trong 20 đa thức đó đều là một đa thức có 24 nghiệm phân biệt. Bài làm: Xét các đa thức với Mỗi đa thức có đúng
nghiệm, ta cần chứng minh với thì sẽ có đúng nghiệm. Với mỗi ta có nên
Từ đó có được Q(x) là đa thức bậc 24 và có đúng 24 nghiệm phân biệt. Câu 3. Cho tam giác
(nhọn) nội tiếp đường tròn , có trực tâm . Gọi là
điểm đối xứng của qua
, là điểm đối xứng của qua , là điểm đối xứng của qua . a) Chứng minh tứ giác nội tiếp.
b) Gọi là điểm trên cung lớn
của đường tròn ngoại tiếp tam giác , đường thẳng cắt tại .
Chứng minh khi di chuyển trên cung lớn của thì trực tâm tam giác
chuyển động trên một đường cố định. Bài làm: a) Có AHCP nội tiếp do
b) Gọi I là trực tâm của DHC.
Ta cminh I là trực tâm DPG
+ Ta có BF//HC//PG nên DI vuông góc PG
+ Có I thuộc (AHCP) vì ( Do H là trực tâm ) + Có (IP;IC)=(AP;AC)=(AC;AF)= (BC;BF)=(CB;CH)=(DB;DH)
mà IC vuông DH nên IP vuông DB. Vậy có I là trực tâm
. Và I thuộc (AHC) cố định
Câu 4. Cho số nguyên tố . Xét tập . Số gọi là
“đẹp” nếu với mọi số thì
. Chứng minh rằng có hữu hạn các số “đẹp”. Bài làm: NX: Với , khi dó ta có Đặt có Do đó để với mọi thì có Nếu để là “đẹp” Đặt , ta có
và bị chặn trên do bị chặn trên vởi , vậy Có Đặt có do Đồng thời Kết hợp Ta có vậy do n đẹp, suy ra Từ nhận xét ta có Mà với có Vậy nên Từ có: Nếu thì có Cho nên ( mâu thuẫn), suy ra Vậy Kết hợp nên ta cũng phải có
Mâu thuẫn này chứng tỏ điều ta giả sử là sai Vậy không tồn tại
để n đẹp, tức là có hữu hạn các số đẹp Câu
5 . Cho số nguyên dương Gọi
là tập các số nguyên nhỏ hơn và nguyên tố cùng nhau với Gọi
là số lớn nhất đồng thời thuộc Cho tập số
nguyên dương có vô hạn phần tử và thoả mãn có số thoả mãn . Chứng minh tồn tại sao cho Bài làm: Với mỗi , ta đặt Nếu với mọi thì ta có (vô lý do ) Vì vậy tồn tại sao cho .
Ta gọi tất cả các số nguyên tố cùng nhau với e mà không vượt quá là . Xét
, khi đó vì X là vô hạn và với mỗi i thuộc X thì tồn tại j sao cho
, vì vậy sẽ tồn tại sao cho
có vô hạn phần tử, gọi các phần tử thuộc là