Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HSG CÁC TRƯỜNG THPT
HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH
CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Đề thi môn: Toán Lớp 11
Thời gian làm bài:180 phút
Câu 1. (4 điểm) Cho dãy số bị chặn và thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Câu 2. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm thoả mãn .
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác nhọn, có trực tâm
. Đường tiếp tuyến tại của
đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt các đường thẳng và lần lượt tại .
Các đường tròn ngoại tiếp tam giác và
cắt nhau tại điểm thứ hai là
Các đường tiếp tuyến tại và với đường tròn ngoại tiếp tam giác
cắt nhau tại . Chứng minh rằng a) đồng quy. b)
đi qua trung điểm của đoạn .
Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương , sao cho tồn tại số nguyên dương và các số nguyên tố thoả mãn và .
Câu 5. (4 điểm) Cho một lưới ô vuông
, ban đầu tất cả các ô vuông được mang
màu trắng. Mỗi một bước đi, ta chọn một hàng (hoặc một cột) và thay đổi màu sắc của
các ô vuông trong hàng (cột) đó, từ trắng thì sang đen và từ đen thì sang trắng. Sau hữu
hạn lần di chuyển có thể xảy ra lưới ô vuông chứa đúng các ô màu đen không? Vì sao. Với a) . b) . -- HẾT – TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ THI ĐỀ XUẤT NĂM HỌC 2023 - 2024
Đề thi môn: Toán Lớp 11 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 1 Cho dãy số bị chặn và thỏa mãn . Chứng minh 4,0 rằng . Do dãy số
bị chặn nên tồn tại số để . Biến đổi 2,0 (3) Do , nên tồn tại để có . Từ (3) suy ra có .
Trong biến đổi của (3) thay bởi , ta chứng minh được với mọi , . 1,0 Dẫn đến . Từ giả thiết
ta thấy không xảy ra dấu bằng hay . 1,0 Xét từ giả thiết có (Do ). Lặp lại quá trình này ta có . Vậy . Tìm tất cả các hàm thoả mãn 2 4,0 .
Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán, và là mệnh đề . (1). (2).
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức có 1,5 . Suy ra (3), với thu được . . Từ đó tìm được (4). , với suy ra được (5). Từ (3), (5) suy ra , thay bởi , kết hợp với (4) thu được hay (tức là hàm số lẻ). Do đó 2,0 Kết hợp với (1) suy ra (6). Thay bởi ta có (7).
So sánh (6) và (7) thu được . Đến đây cho thu được hay là hằng số. Thử lại: …. Thoả mãn. 0,5 3 Cho tam giác nhọn, có trực tâm
. Đường tiếp tuyến tại của
đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt các đường thẳng và lần lượt tại
. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác và cắt nhau tại điểm thứ hai là
. Các đường tiếp tuyến tại và với đường
tròn ngoại tiếp tam giác
cắt nhau tại . Chứng minh rằng a) đồng quy. b)
đi qua trung điểm của đoạn . a. Gọi
là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác , lần lượt là 1,5 trung điểm của , và
lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác với , . Ta có . Dẫn đến . Suy ra là tứ giác nội tiếp. Xét ba đường tròn:
, có ba trục đẳng phương
của các cặp đường tròn là .
Từ đó chứng minh được
đồng quy tại một điểm, gọi là điểm