Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Hùng Vương

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ ĐỀ XUÁT KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU TỈNH BÌNH DƯƠNG
VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Trường THPT chuyên NĂM 2024 Hùng Vương
Môn: TOÁN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ ĐỀ XUẤT
Câu 1: (4 điểm). Với mỗi nguyên dương, xét phương trình trên miền
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất ; đồng thời . b) Đặt
. Chứng minh rằng tồn tại nguyên dương để
Câu 2: (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số sao cho .
Câu 3: (4 điểm). Cho đường tròn
. Gọi là điểm cố định cách một khoảng . Hai đường
thẳng phân biệt, thay đổi qua , cắt đường tròn lần lượt tại và (các điểm
phân biệt). Các đường tròn và
cắt nhau tại điểm thứ hai , các đường tròn và
cắt nhau tại điểm thứ hai .
a) Tìm quỹ tích hai điểm .
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố định.
Câu 4: (4 điểm). Cho đa thức
hệ số nguyên có bậc là và có ba nghiệm vô tỉ là thỏa mãn
Giả sử tồn tại các số nguyên sao cho a) Chứng minh rằng
là đa thức hệ số nguyên có bậc nhỏ nhất nhận làm nghiệm và là ba nghiệm phân biệt. b) Chứng minh rằng và là một số chính phương.
Câu 5: (4 điểm).
Chứng minh rằng với mọi
, từ tập con A bất kỳ chứa phần tử của tập
luôn tồn tại hai phần tử phân biệt hiệu của hai phần tử lớn hơn n và nhỏ hơn 2n.
---------------HẾT---------------
ĐÁP ÁN VẢ THANG ĐIỂM CHẤM – TOÁN – KHỐI 11
Câu 1: (4 điểm). (Người ra đề: Nguyễn Văn Phi)
Với mỗi nguyên dương, xét phương trình trên miền
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm duy nhất ; đồng thời . b) Đặt
. Chứng minh rằng tồn tại nguyên dương để THANG ĐIỂM CÂU 1 a) Với mỗi xét hàm số trên thì
nên hàm số này nghịch biến. Mặt khác và
Theo tính chất hàm liên tục thì phương trình
có nghiệm duy nhất thuộc (1,0 điểm) Tiếp theo, ta có nên
. Do tính nghịch biến của hàm số ta có nên dãy
giảm. Mặt khác, nó bị chặn dưới bởi nên hội tụ. Đặt Nếu thì , trong khi mâu thuẫn. Suy ra (1,0 điểm) b) Ta có đánh giá với mọi nên . Suy ra . (0,5 điểm) Do đó . Theo kết quả quen thuộc khi , ta có . (0,5 điểm)
Gọi là chỉ số nhỏ nhất để có . Khi đó . Mặt khác . Suy ra . Vậy ta có . kéo theo (1,0 điểm)
Câu 2: (4 điểm). (Người ra đề: Trần Văn Trí).
Tìm tất cả các hàm số sao cho . THANG ĐIỂM CÂU 2 + Giả sử . Thử lại thỏa mãn.
+ Cho x = 0 vào (1) ta được Nếu thì . Mâu thuẫn. Do đó . (0,5 điểm)
+ Cho x = y vào (1) ta được (2) (0,5 điểm)
+ Thay x bởi – x vào (1) ta được (3) (0,5 điểm) Từ (2) và (3) suy ra (4) (0,5 điểm) + Thay bởi và kết hợp (4) ta suy ra . (5) (0,5 điểm)
+ Trong (1) đổi vai trò x và y ta được (6) (0,5 điểm) Từ (5) và (6) ta suy ra Hay Cho ta được , (1,0 điểm)
Câu 3: (4 điểm). (Người ra đề: Nguyễn Thị Kim Ngân) Cho đường tròn
. Gọi là điểm cố định cách một khoảng . Hai đường
thẳng phân biệt, thay đổi qua , cắt đường tròn lần lượt tại và (các điểm
phân biệt). Các đường tròn và
cắt nhau tại điểm thứ hai , các đường tròn và
cắt nhau tại điểm thứ hai .
a) Tìm quỹ tích hai điểm .
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố định. THANG ĐIỂM CÂU 3
a) Tìm quỹ tích hai điểm . Xét phép nghịch đảo tâm , tỉ số . Ta có: