Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Hưng Yên

SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN
KHU VỰC DH&ĐB BẮC BỘ NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11 (Đề thi đề xuất)
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01. trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm): Cho dãy số xác định bởi : .Tính
Câu 2 (4 điểm): Tìm tất cả các đa thức
sao cho tồn tại đa thức thỏa mãn , .
Câu 3 (4 điểm): Cho tam giác nội tiếp đường tròn có là trực tâm. Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Tia phân giác trong của góc cắt lần lượt tại
và cắt lại đường tròn tại điểm .
a) Chứng minh rằng diện tích hai tam giác và bằng nhau. b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh
đi qua điểm chính giữa cung của .
Câu 4 (4 điểm): Cho là số nguyên dương không chia hết cho và dãy số được xác định như sau :
trong đó là chữ số hàng đơn vị của . Chứng
minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương sao cho chia hết cho .
Câu 5 (4 điểm): Lớp 11 Toán 1 có 6 học sinh tham gia kì thi chọn đội tuyển môn Toán và
nhận được 6 điểm số khác nhau là các số tự nhiên không vượt quá 20. Gọi là trung bình
cộng các điểm số của 6 học sinh trên. Hai học sinh được gọi là lập thành một “cặp hoàn
hảo” nếu như trung bình cộng điểm số của hai em đó lớn hơn .
a) Chứng minh rằng không thể chia 6 học sinh thành 3 cặp đều là các “cặp hoàn hảo”
b) Trong 6 học sinh trên, có thể có nhiều nhất bao nhiêu “cặp hoàn hảo”?
---------------- HẾT -------------- SỞ GD&ĐT HƯNG YÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯNG YÊN
KHU VỰC DH&ĐB BẮC BỘ NĂM 2024 MÔN TOÁN LỚP 11 (Đề thi đề xuất)
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01. trang, gồm 05 câu) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Đáp án Điểm 1 4,0 Cho dãy số xác định bởi . Tính Tính 1,0 Ta có Từ suy ra 2,0 1,0 *) Do đó: 2
Tìm tất cả các đa thức
sao cho tồn tại đa thức thỏa mãn ,
Giả sử tồn tại đa thức ,
thỏa mãn điều kiện đã cho 0,5 +) Trường hợp 1: Nếu là hằng số, với là hằng số, Khi đó, chọn hoặc
thỏa mãn yêu cầu bài toán +) Trường hợp 2: deg Đặt
lần lượt là bậc của đa thức và ( )
So sánh bậc cao nhất 2 vế của phương trình ta được Đặt với , 1,0
Ta thấy rằng nếu đa thức
thỏa mãn bài toán thì đa thức
cũng thỏa mãn với là số
thực bất kì. Thật vậy, với Nên ta có thể chọn , nên có thể giả sử Ta có (1) Thay
vào phương trình trên ta thu được Đặt với là đa thức thỏa mãn , Từ (1) với , ta có 1,0
Mà 2 đa thức vế trái và vế phải bằng nhau tại vô hạn điểm nên (2) Thay
vào phương trình trên ta được (do ) Do đó với
phương trình (2) tương đương Đặt suy ra (3) *) Nếu là đa thức hằng suy ra hoặc suy ra (thỏa mãn) hoặc (loại do ) và với .Thử lại thỏa mãn
*)Nếu deg S 1, gọi n là bậc của S(x),
là hệ số bậc cao nhất của S(x) ( )
So sánh hệ số bậc cao nhất 2 vế của (3) ta được (do ) 1,5 Đặt (deg ), Suy ra giả sử
, So sánh bậc cao nhất 2 vế suy ra 2deg deg deg (vô lý) Suy ra và với .Thử lại thỏa mãn
Vậy tất cả các đa thức cần tìm là ( là hằng số bất kì), (với mọi
, là hằng số bất kì khác 0, là hằng số bất kì). 3 Cho tam giác nội tiếp đường tròn có là trực tâm. Gọi lần lượt là trung điểm của . Tia phân giác trong cắt lần lượt tại và cắt lại tại .
a) Chứng minh rằng diện tích hai tam giác và bằng nhau. b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh
đi qua điểm chính giữa cung của . T A K H E F P M O Q B X L C D
Ta chứng minh bài toán trong trường hợp như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương tự. Dễ thấy 1,0 Ta có : nên . Tương tự ta cũng có 1,0 Xét ,có suy ra cân