Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN
HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2024 ĐỀ GIỚI THIỆU
Môn thi: TOÁN - Lớp 11
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. (4 điểm) Cho dãy số xác định bởi
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện với mọi .
Câu 3. (4 điểm) Trong tam giác nhọn gọi là trực tâm, là đường trung tuyến ( thuộc cạnh
), là giao điểm thứ hai của với
đường tròn ngoại tiếp tam giác , là điểm sao cho là hình bình hành. Gọi là giao điểm của và . Đường thẳng
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
tại điểm thứ hai . Chứng minh rằng .
Câu 4. (4 điểm) Với hai số nguyên dương thỏa mãn và tổng của chúng là
một số chẵn, xét tam thức bậc hai Chứng minh rằng
có các nghiệm đều là các số nguyên dương nhưng không là số chính phương.
Câu 5. (4 điểm) Cho 100 điểm phân biệt trong không gian sao cho trong chúng không có
ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng nằm trên một mặt phẳng.
Xét 2501 đoạn thẳng bất kì, mỗi đoạn có hai đầu mút là 2 trong số 100 điểm trên.
Chứng minh rằng có ít nhất 50 tam giác được tạo thành từ 2501 đoạn thẳng trên. ----- HẾT ----
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TỈNH THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN
HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM 2024 ĐỀ GIỚI THIỆU
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Thời gian: 180 phút Câu Nội dung trình bày Điểm
Câu 1 Cho dãy số xác định bởi 4đ
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Biến đổi 1,0 1,0 Đặt và . Suy ra . Với cho trước, vì , đặt . Tồn tại . Sao cho thì . Với ta có 1,0 1 1,0 Do . Tồn tại sao cho thì . Suy ra thì . Vậy nên .
Câu 2 Tìm tất cả các hàm thỏa mãn điều kiện 4đ với mọi .
Biến đổi phương trình đã cho về phương trình 1,0 Đặt ta được phương trình (1) với mọi . Thay vào (1), ta có với mọi . Nếu
thì sẽ là hàm hằng. Thay vào (1) dễ thấy không thỏa mãn. Nếu . Thay
vào phương trình (1) ta thu được . Nghĩa là hoặc . Trường hợp 1: . 1,0 Thay bởi và
vào phương trình (1) ta thu được với mọi .
Kết hợp (1) ta thu được: với mọi (2) Tiếp theo ta thay
vào phương trình (1) ta nhận được hay với mọi . (3) Lại thay và bởi và
vào phương trình (1) ta nhận được hay với mọi . (4)
Cho bởi vào phương trình (1) và sử dụng (2), (3) và (4) ta nhận 1,0 2 được Suy ra dẫn đến với mọi suy ra . Trường hợp 2: .
Bằng cách thay tương tự như ở trường hợp 1, ta có: với mọi . (5) với mọi . (6) với mọi . (7)
Tiếp theo, thay bởi vào phương trình (1) và sử dụng (5), (6) và (7) ta 1,0 nhận được Suy ra với mọi suy ra .
Thử lại ta thấy cả hai hàm ở cả hai trường hợp đều thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai hàm số thỏa mãn yêu cầu bài toán là với mọi và với mọi .
Câu 3 Trong tam giác nhọn gọi là trực tâm, là đường 4đ 3