Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lào Cai

SỞ GD&ĐT LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB ĐỀ THI ĐỀ XUẤT NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài 180 phút
(Đề thi gồm có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số được xác định bởi: .
a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số thực để
là dãy số khác hằng và hội tụ. b) Cho xét dãy số
Tính giới hạn của dãy số
Câu 2 (4,0 điểm) Xét ba số thực
thỏa mãn đồng thời các điều kiện: , và
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Câu 3 (4,0 điểm) Cho tam giác
nhọn không cân nội tiếp đường tròn có
lần lượt là trung điểm
và là trung điểm cung lớn của
Giả sử là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn . a) Chứng minh rằng b) Giả sử cắt ở và cắt ở cắt ở Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh rằng
trục đẳng phương của hai đường tròn đi qua
Câu 4 (4,0 điểm) Với và nguyên tố, đặt và xét dãy số dương thỏa mãn với a) Chứng minh rằng và với mọi
b) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho đều nguyên.
Câu 5 (4,0 điểm) Giả sử rằng là tập hợp con của tập các số
sao cho không chứa hai số nào mà số này gấp đôi số kia.
Hỏi có thể có nhiều nhất bao nhiêu phần tử.
---------------Hết--------------- SỞ GD&ĐT LÀO CAI
HDC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB ĐỀ THI ĐỀ XUẤT NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11
Thời gian làm bài 180 phút
(HDC gồm có 04 trang, gồm 05 câu) Câ Nội dung trình bày Điể u m 1 Cho dãy số được xác định bởi: .
a) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số thực để
là dãy số khác hằng và hội tụ. b) Cho xét dãy số
Tính giới hạn của dãy số
a) Ta viết lại công thức của dãy đã cho thành nên 1,0 với . Ta đưa về việc tìm để hội tụ.
Dễ thấy tăng và nếu nó có giới hạn là thì thay vào công thức trên, ta 1,0 có hay
Do đó, trước hết, ta cần có Ngoài ra, nếu chọn thì để ý rằng thì nên và
Tương tự, bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng
. Dãy tăng và bị chặn trên nên nó sẽ hội tụ về Vì thế với mọi thì dãy
là dãy số khác hằng và hội tụ b) Ta có biến đổi sau nên suy ra 1,0 Từ đó ta được
Cuối cùng, dễ thấy rằng
nên bằng quy nạp, ta chỉ ra được dãy tăng. Nếu
bị chặn trên thì nó sẽ hội tụ về thay vào công thức, ta 1,0 có . Giải ra được
điều vô lý này cho thấy không bị chặn trên nên Suy ra 2 Xét ba số thực
thỏa mãn đồng thời các điều kiện: , và
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
Trước hết, ta thấy rằng 1,0 Vì thế và kéo theo và Dấu bằng xảy ra khi 1,0 và . Tiếp theo, ta có 1,0 nên . Vì nên , khai triển ra được Từ đó có hoặc , nhưng nếu thì vô lý. Vì thế , dấu bằng xảy ra khi và . 1,0
Vì thế nên giá trị lớn nhất của là
và giá trị nhỏ nhất là 3 Cho tam giác
nhọn không cân nội tiếp đường tròn có lần lượt là trung điểm
và là trung điểm cung lớn của Giả sử
là một điểm nằm trong tam giác và thỏa mãn . a) Chứng minh rằng b) Giả sử cắt ở và cắt ở cắt ở Gọi là giao điểm của và là giao điểm của và Chứng minh
rằng trục đẳng phương của hai đường tròn đi qua D A R E N K S M Q P F L O C T B a) Trên lấy các điểm sao cho 1,0 thì theo tính chất của ta có nên . Tương tự Mặt khác và nên hai tam giác bằng nhau, kéo theo nên . Mà là tâm của nên suy ra 1,0 b) Ta có nên , kéo theo là phân giác , tương tự thì là phân giác
Theo tính chất đường phân giác thì . 1,0
Từ đó, theo định lý Menelaus trong tam giác , dễ thấy rằng thẳng hàng. Do nên đường thẳng là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ; suy ra và nội tiếp. Gọi là giao điểm của và thì
Xét phép nghịch đảo tâm phương tích thì: . 1,0 Mà thẳng hàng nên
đi qua tâm nghịch đảo hay đi qua Tương tự thì
cũng đi qua nên trục đẳng phương của hai đường tròn chính là đi qua
Ta có điều phải chứng minh. 4 Với và nguyên tố, đặt và xét dãy số dương thỏa mãn với a) Chứng minh rằng và với mọi
b) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho đều nguyên.