Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LÊ HỒNG PHONG
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI TỈNH NAM ĐỊNH
VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XV - NĂM 2024 ĐỀ ĐỀ XUẤT MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Thời gian làm bài: 180 phút.
Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy số
được xác định như sau: và . a) Chứng minh rằng . b) Với mỗi , đặt . Tính giới hạn .
Bài 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn .
Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giác
nhọn với các đường cao là . Gọi
tương ứng là trọng tâm của các tam giác . Các đường thẳng cắt cạnh lần lượt tại ; các đường thẳng cắt cạnh lần lượt tại ; các đường thẳng cắt cạnh lần lượt tại . Chứng minh rằng: a) Hai tam giác , bằng nhau. b) Sáu điểm
cùng nằm trên một đường tròn.
Bài 4 (4,0 điểm). Gọi là tập hợp tất cả các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
Với mỗi ước nguyên dương của , ta có
là số nguyên dương. Tìm số nguyên dương (
) bé nhất sao cho cứ lấy số đôi một phân biệt của thì bộ
những số này có ước chung lớn nhất bằng 1.
Bài 5 (4,0 điểm). Có
điểm được đánh số là
. Với mỗi cặp chỉ số mà
thì có đúng một đường đi một chiều xuất phát từ điểm đi
đến điểm . Mỗi đường đi như thế được tô bởi đúng một trong hai màu xanh hoặc đỏ.
Tính xác suất để tồn tại hai điểm
sao cho ta có thể đi từ đến
được bằng cả hai cách: một cách chỉ toàn đi qua các con đường màu xanh và một cách
chỉ toàn đi qua các con đường màu đỏ. ---------- HẾT ---------- TRƯỜNG THPT CHUYÊN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ ĐỀ XUẤT LÊ HỒNG PHONG
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH NAM ĐỊNH
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XV - NĂM 2024
MÔN THI: TOÁN - LỚP 11
Bài 1 (4,0 điểm). Cho dãy số
được xác định như sau: và . a) Chứng minh rằng . b) Với mỗi , đặt . Tính giới hạn . Ý Nội dung Điểm 1.a a) Ta thấy dãy số là dãy số dương. 2,0đ + Với thì kết quả là đúng. 0,5đ Có . + Vậy với thì 0,5đ Suy ra hay có . + Với cũng có 0,5đ . Theo đó để chứng minh hay
, ta đi chứng minh kết quả (*). 0,5đ Thật vậy, : Bất đẳng thức đúng.
Kết hợp các điều trên có kết quả đúng với mọi . 1.b
2,0đ b) Theo kết quả ý a) có , kết hợp suy ra 0,5đ . 0,5đ Suy ra .
Áp dụng định lý Cesaro có . Xét 0,5đ . Ta có , , nên suy ra 0,5đ .
Sử dụng định lý Stolz ta được hay .
Bài 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn . Nội dung Điểm Giả sử có hàm số thỏa mãn (1): . 0,5đ Ta dùng
chỉ kết quả của phép thế và vào (1). 1. . 2. Xét trường hợp : (2) 0,5đ (3). Từ (2) và (3) suy ra hay có .