Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lê Khiết - Quãng Ngãi

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
LÊ KHIẾT- QUẢNG NGÃI
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XV- NĂM 2024 ĐỀ GIỚI THIỆU MÔN: TOÁN HỌC 11
(Đề gồm có 01trang)
Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số Tìm Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn với mọi số thực Câu 3. (4,0 điểm) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . là giao điểm của và . là giao điểm của và . Gọi
lần lượt là trung điểm của . Gọi là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng . Câu 4. (4,0 điểm) Cho số nguyên dương . Xét tập hợp Số
nguyên dương được gọi là số “đẹp” nếu tất cả các phần tử của đều không chia hết cho .
a) Chứng minh rằng nếu là số “đẹp” thì không có ước là số chính phương khác 1.
b) Nếu là số “đẹp” thì có bắt buộc phải số nguyên tố không? Vì sao? Câu 5. (4 điểm) Trên mặt phẳng cho điểm phân biệt
sao cho không có điểm nào thẳng
hàng. Giữa 2 điểm bất kì trên mặt phẳng ta kẻ 1 đoạn thẳng màu xanh hoặc 1 đoạn thẳng
màu đỏ. Ta gọi một tam giác gồm trong
điểm trên là “đặc biệt” nếu 3 cạnh của nó có
cùng một màu. Tính theo , số tam giác đặc biệt nhỏ nhất có thể.
---------------------HẾT--------------------- TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC
LÊ KHIẾT- QUẢNG NGÃI
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XV- NĂM 2024
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN HỌC 11 (Gồm có 04 trang) Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số Tìm Câ Nội dung Điểm u Đặt thì có dãy số . Dễ kiểm tra 1 1 nên viết lại
và giới hạn cần tính là Ta chứng minh . Thật vậy, khi : đúng. Giả sử (1) đúng với thì nên từ suy ra 1 hay suy ra (1) đúng. Áp dụng (1), mà 1 1 nên suy ra . Câu 2. (4,0 điểm)
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn với mọi số thực Câ Nội dung Điểm u 2 1 Thay bởi
thì giả thiết đã cho thành do đó hoặc và luôn có nên cho giả 1 thiết thành nên là hàm số chẵn. Dễ kiểm tra và
là các hàm số thỏa yêu cầu. Ta chứng
minh không còn hàm số khác. 1
Thật vậy, giả sử tồn tại các số khác 0 là mà . Thay giả thiết thành . Nếu thì từ (*) suy ra : vô lý do . . Nếu thì từ (*) suy ra : vô lý do . 1
Vây tất cả các hàm số cần tìm là và . Câu 3. (4,0 điểm) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn . là giao điểm của và . là giao điểm của và . Gọi
lần lượt là trung điểm của
. Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng . Câ Nội dung Điểm u 2 1 Gọi là giao điểm của và ;
lần lượt là giao điểm của với . Gọi là trung điểm của . Khi đó
cùng nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần .
Theo định lí Brocard, ta có là trực tâm của tam giác nên .
Theo mô hình tứ giác toàn phần, ta có (hệ thức 1 Newton) Mặt khác: + (hệ thức Maclaurin) 1 + (Hệ thức Maclaurin) Mà nên hay là tứ giác nội tiếp. Khi đó hay
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác . 1 . Mà nên (đpcm) Câu 4. (4,0 điểm)
Cho số nguyên dương .Xét tập hợp
Số nguyên dương được gọi là số “đẹp” nếu tất cả các phần tử của đều không chia hết cho
a) Chứng minh rằng nếu là số “đẹp” thì không có ước là số chính phương khác 1
b) Nếu là số “đẹp” thì có bắt buộc phải số nguyên tố không? Vì sao? Câ Nội dung Điểm u 2 1 a)Xét hàm số được xác định bởi , với .
Nhận xét: Cho là 1 số nguyên dương có ước là số chính phương khác 1.hi đó: