Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định

SỞ GDĐT BÌNH ĐỊNH
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LÊ QUÝ ĐÔN
LẦN THỨ XV, NĂM 2024
ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 11 ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm) Cho dãy số được xác định bởi . a) Chứng minh số
đều là số chính phương.
b) Chứng minh với mọi số nguyên , cặp số là nghiệm nguyên dương của phương trình
Câu 2:(4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số thoả mãn
Câu 3:(4,0 điểm) Cho tam giác
nhọn, nội tiếp đường tròn Các đường cao đồng quy tại trực tâm của tam giác
Gọi đối xứng với qua , đường thẳng cắt đường thẳng tại đường thẳng cắt đường thẳng tại và đường thẳng cắt đường thẳng tại
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn đường kính
b) Tiếp tuyển tại của đường tròn đường kính cắt tại Chứng minh
Câu 4:(4,0 điểm) Xác định tất cả các số nguyên
thỏa mãn tính chất sau: Với mọi số nguyên mà
thì luôn tìm được số nguyên dương chia hết cho sao cho tổng
các chữ số chia cho có số dư bằng
Câu 5:(4,0 điểm) Cho dãy các số thực
. Ở mỗi bước, ta thay dãy hiện có thành dãy
, với số thực nào đó. Lưu ý rằng có thể
được chọn khác nhau ở mỗi bước. Gọi “dãy rỗng” là dãy gồm toàn các số
a) Chứng minh với mọi dãy ban đầu, tồn tại cách thay đổi để đưa về dãy rỗng.
b) Tìm nhỏ nhất để luôn chắc chắn rằng với mọi dãy ban đầu, ta luôn có thể thay đổi
để đưa về dãy rỗng sau không quá bước.
…………HẾT………. SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LÊ QUÝ ĐÔN
LẦN THỨ XV, NĂM 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn: Toán – lớp 11 Câu Nội dung Điể m 1 Cho dãy số được xác định bởi . 4,0 a) Chứng minh rằng số
đều là số chính phương.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên , cặp số là nghiệm
nguyên dương của phương trình .
a) Từ giả thiết, ta nhận thấy các số hạng của dãy số đều dương. Ta có . 1,0 Từ đó suy ra ; Ta được đẳng thức: (*)
Áp dụng giả thiết và (*), ta được
là phương trình bậc hai ẩn 1,0
phải là số chính phương , từ đó suy ra . Vậy . Ta chứng minh cặp số
là nghiệm nguyên dương của phương trình
. Chứng minh bằng quy nạp 1,0 + Cặp số là nghiệm phương trình. Giả sử với
là nghiệm phương trình, tức là Ta xét 1,0 --------HẾT-------- ( theo giả thiết quy nạp) Do đó
cũng là nghiệm của phương trình (đpcm). 2
Tìm tất cả các hàm số thoả mãn: 4,0 Với số thực , từ (2), ta thay bởi , ta có: Từ (3), ta đổi vai trò cho nhau, ta có: 1,0 Ta cố định . Từ (4), thay bởi , ta có: 1,0 Trong đó: , , Từ (2), thay bởi , bởi , ta có: 1,0
Sử dụng kết quả (5), ta có: Nếu
thì cố định số thực cho ta có điều vô lý Vậy hay 1,0 Mà ta đang cố định bất kì nên Suy ra: Thử lại, . Vậy 3 Cho tam giác
nhọn, nội tiếp đường tròn . Các đường cao đồng quy tại trực tâm
Gọi đối xứng với qua . cắt tại cắt tại và cắt tại . Chứng minh rằng: 4,0
a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác
tiếp xúc với đường tròn đường kính
b) Tiếp tuyển tại của đường tròn đường kính cắt tại . Chứng minh a) Ta kí hiệu
chỉ đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN, chỉ
cho đường tròn đường kính AL Gọi
lần lượt là giao điểm của với đường tròn Khi đó, ta có: là phân giác và nên là phân giác ngoài . 1,0 Do đó: là trung trực của Suy ra: (1)
Gọi U là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC. Ta có : U là trung điểm của OH
Lấy A’ đối xứng với A qua O. G là trung điểm BC. Ta có A’,G,H thẳng hàng Trong
, có OG là đường trung bình nên AH=2OG. Mà đối xứng với O qua BC nên AH=
và OO1//AH nên AHO1O là hình bình hành Suy ra: và nên là tâm của (BHC)
Vì tứ giác FHDB nội tiếp nên Suy ra:
hay N thuộc trục đẳng phẳng phương của đường 1,0
tròn (DEF) và đường tròn (BHC)
Chứng minh tương tự: M cũng thuộc trục đẳng phương của đường tròn
(DEF) và đường tròn (BHC) Suy ra: hay (2)
Từ (1) và (2), ta có: MN//PQ --------HẾT--------