Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LÊ QUÝ ĐÔN, ĐIỆN BIÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023 - 2024 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Môn: TOÁN – LỚP 11
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 02 trang, 05 bài Đề bài
Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số
được xác định như sau a. Tính b.Chứng minh rằng . Câu 2. (4,0 điểm) Cho
là một đa thức bậc ba, xét đa thức a) Giả sử và , tính .
b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức để Câu 3. (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn
và có H là trực tâm. Gọi M là
trung điểm cạnh BC. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt lại đường tròn
tại G, K là điểm
đối xứng với G qua M; tiếp tuyến của
tại A cắt đường thẳng BC tại S. a. Chứng minh
b. Đường thẳng SK cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại P, Q. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác APQ. Đường đối trung đỉnh A của tam giác ABC cắt SK tại U; SG cắt lại tại X. Chứng
minh rằng X, U, T thẳng hàng. Câu 4. (4,0 điểm Cho dãy số nguyên xác định bởi , . Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì chia hết cho .
Câu 5. (4,0 điểm) Bạn Minh có một bảng hình vuông được chia thành 9 hình vuông đơn vị (xem
hình vẽ minh họa), cố định không xoay như hình vẽ. Minh muốn dùng 3 màu (đỏ, xanh, đen) để
tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị
được tô bởi đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bạn Minh có tất cả bao nhiêu
cách tô màu bảng vuông đã cho? ------Hết----- TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LÊ QUÝ ĐÔN, ĐIỆN BIÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023 - 2024
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: TOÁN – LỚP 10 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án gồm 02 trang 05 bài I. HƯỚNG DẪN CHUNG
1. Giám khảo chấm đúng như đáp án, biểu điểm.
2. Nếu thí sinh có cách trả lời khác đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo biểu
điểm của Hướng dẫn chấm thi.
3. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số
được xác định như sau a. Tính b.Chứng minh rằng . Nội dung trình bày Điểm 1,0 a.Ta có: 1,0 1,0 b. Ta có: Suy ra . 1,0
Câu 2 (4,0 điểm) Cho
là một đa thức bậc ba, xét đa thức a) Giả sử và , tính .
b) Hỏi có tồn tại hay không đa thức để Nội dung trình bày Điểm a) Đặt . Theo giả thiết ta có: (1) Xét đa thức có ba nghiệm phân biệt . Suy ra . Thay vào (1) ta có: 1,0 Nên Tương tự: Xét
là đa thức bậc 3 có ba nghiệm Suy ra 1,0 Thay , ta có: Suy ra, . 0,5 Vậy . b) Với số , đặt . 0,5 1,0 Khi đó,