Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lê Thánh Tông - Quảng Nam

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG LẦN THỨ XV BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: 16/7/2024 LÊ THÁNH TÔNG
Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Đề này có 5 câu; gồm 01 trang)
Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi . Tính .
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn:
Câu 3. (4,0 điểm) Cho hình thang cân nội tiếp đường tròn sao
cho tâm O nằm ngoài hình thang, gọi d là tiếp tuyến của
tại điểm H (với O;H
cùng phía so với CD). Tiếp tuyến của
tại A và C lần lượt cắt d tại E và F, gọi
P là giao điểm của EA và FC. Các tia cắt lại
lần lượt tại K; L.
a/ Chứng minh ba đường thẳng
và d đồng quy tại một điểm (gọi là M).
b/ Chứng minh hai đường tròn và
cùng tiếp xúc với đường tròn
. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn và ,chứng minh 4 điểm đồng viên.
Câu 4. (4,0 điểm) Giả sử
, chứng minh rằng tồn tại vô hạn số m sao cho
Câu 5. (4,0 điểm). Một tập hợp T gồm các số nguyên được gọi là khó tính nếu tồn tại các số nguyên
sao cho a và c thuộc T nhưng b không thuộc T. Hỏi có
bao nhiêu tập hợp T là tập con của tập . ==== Hết ====
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG LẦN THỨ XV BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Ngày thi: 16/7/2024 LÊ THÁNH TÔNG
(Hướng dẫn chấm này gồm có 05 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi . Tính . Ta có: 0.5 Đặt 1.0 Khi đó ta có: . Nhận xét: 1,0 0,75 0.75 + Lại có Mà nên theo nguyên lí kẹp: . Vậy . Câu 2
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn (4,0 điểm) (1)
Giả sử tồn tại hàm thỏa mãn ycbt. 1,0 Gọi
là phép thế bởi và bởi .
Trường hợp 1: 2.0 Trong (2), thay : TH1: Nếu . Thử lại thỏa mãn (1). TH2: Nếu Trong (4), thay : Trong (2), thay : Nếu (6b)
Kết hợp (6a) và (6b) ta được . Thử lại thỏa mãn (1). Nếu (6c)
Kết hợp (6a) và (6c) ta được
. Thử lại thỏa mãn (1).
Trường hợp 2: 1.0 (vô lý) Vậy Câu 3
Cho hình thang cân nội tiếp đường tròn sao cho tâm (4,0 điểm)
O nằm ngoài hình thang, gọi d là tiếp tuyến của
tại điểm H (với O;H cùng
phía so với CD). Tiếp tuyến của
tại A và C lần lượt cắt d tại E và F, gọi P
là giao điểm của EA và FC. Các tia cắt lại
lần lượt tại K; L.
a/ Chứng minh ba đường thẳng
và d đồng quy tại một điểm (gọi là M).
b/ Chứng minh hai đường tròn và
cùng tiếp xúc với đường tròn
. Gọi N là giao điểm thứ hai của hai đường tròn và ,chứng minh 4 điểm đồng viên.
a/ Gọi J là giao điểm của AC và d. Dễ dàng thấy tứ giác là tứ giác điểu hòa. 1.5