Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Binh

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HSG GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Thời gian làm bài 180 phút LƯƠNG VĂN TỤY
(Đề này có 5 câu; gồm 01 trang) ĐỀ ĐỀ XUẤT
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi: và với mọi Đặt Tìm giới hạn
Câu 2 (4,0 điểm). Cho
là đa thức với các hệ số thực, có
bậc là và có nghiệm thực (ở đó và ). Biết và . Chứng minh rằng
có cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng .
Câu 3 (4,0 điểm). Đường tròn nội tiếp của tam giác
nhọn, không cân tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại . Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt lại đường tròn tại . Đường thẳng cắt lại đường tròn
tại . Gọi là giao điểm thứ hai của các
đường tròn (PCE) và (PBF). Giả sử là giao điểm khác của đường thẳng với đường tròn (IBC). Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng .
a. Chứng minh rằng thuộc đường tròn (IBC) và đường thẳng đi qua trung điểm của .
b. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng
nằm trên đường phân giác ngoài của góc . 2 p  p1 2   1
Câu 4 (4,0 điểm). Xét p là số nguyên tố thỏa mãn
. Chứng minh rằng với mọi số    1  ! 2n p p 
nguyên dương n , số
có ít nhất 3 ước nguyên tố phân biệt.
Câu 5 (4 điểm). An và Bình đến cửa hàng mua kẹo. Trong cửa hàng có các túi kẹo loại chiếc, chiếc, chiếc, …,
chiếc. Mỗi loại có nhiều túi. Mỗi bạn chọn mua một số túi ở nhiều loại và
mỗi loại có thể mua nhiều túi.
a. Số túi ít nhất An cần phải mua để có đúng chiếc kẹo là bao nhiêu?
b. Có bao nhiêu cách chọn túi kẹo đôi một khác loại sao cho tổng số chiếc kẹo được chọn không vượt quá và nếu túi loại được chọn ( , ) thì túi loại không được chọn?
c. Giả sử sau khi mua, An và Bình lần lượt có và ( , ) chiếc kẹo, đồng
thời An có nhiều hơn Bình túi kẹo. Có bao nhiêu giá trị thỏa mãn các điều kiện trên, biết An và
Bình luôn mua ít túi nhất có thể?
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HSG GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 11 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Thời gian làm bài 180 phút LƯƠNG VĂN TỤY
(Đề này có 5 câu; gồm 01 trang) ĐỀ ĐỀ XUẤT
I. Một số chú ý khi chấm bài
 Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo
cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
 Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì Tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương
ứng với thang điểm của Đáp án.
 Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.
II. Đáp án-thang điểm
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi: và với mọi Đặt Tìm giới hạn Ta có Đặt 1,5 Do đó Suy ra 0.5 Bổ đề 1: Chứng minh: 0,5 Bổ đề 2:
Chứng minh: Theo bổ đề 1, ta có 0.5 và
Trở lại bài toán: Áp dụng bổ đề 2, ta có 1,0 Do đó Câu 2. Cho
là đa thức với các hệ số thực, có bậc là và có nghiệm thực (ở đó và ). Biết và . Chứng minh rằng có
cả nghiệm dương, nghiệm âm và có nghiệm thuộc khoảng . * Gọi
là các nghiệm thực của . Do nên . Ta thấy
là các nghiệm của đa thức 0,5 .
+ Theo định lý Vi-ète có: (1) 0,5 và (2) 0,5 + Từ (1) suy ra có hay
có nghiệm âm. Nếu tất cả các nghiệm đều âm thì
, mâu thuẫn với (2), do đó có cả nghiệm dương.
* Ta cần chứng minh tồn tại chỉ số sao cho hay . 0,5 Do
nên chia hai vế của BĐT này cho được BĐT tương đương cần chứng minh là .
Thật vậy, từ (1) và (2) suy ra (3). 1,0 Từ (1) suy ra (4).
Cộng theo vế (3) và (4) có . Đặt là chỉ số sao cho thì 1,0
, suy ra điều phải chứng minh.
Câu 3 (4,0 điểm). Đường tròn nội tiếp của tam giác
nhọn, không cân tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại . Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt lại đường tròn tại . Đường thẳng cắt lại đường tròn
tại . Gọi là giao điểm thứ
hai của các đường tròn (PCE) và (PBF). Giả sử là giao điểm khác của đường thẳng
với đường tròn (IBC). Gọi
là trung điểm của đoạn thẳng .
a. Chứng minh rằng thuộc đường tròn (IBC) và đường thẳng đi qua trung điểm của .
b. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng
nằm trên đường phân giác ngoài của góc .
a) Ta có (BQ,QC) = (BQ,QP) + (PQ,QC) = (BF,FP) + (PE,EC) = (EF,EP) + (FP,FE) = 0.5
(FP,EP) = (DF,DE) = (BI,IC). Suy ra điểm Q thuộc đường tròn (BIC).