Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN
ĐỀ THI HSG DUYÊN HẢI VÀ ĐBBB BÁI
NĂM HỌC 2023 – 2024 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Môn: Toán – Lớp 11 NGUYỄN TẤT THÀNH
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi và . a) Chứng minh rằng
có có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Hỏi có tồn tại hay không số thực để giới hạn tồn
tại, hữu hạn và khác 0?
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện:
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt
cạnh AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt cạnh AB tại F. Gọi
K là giao điểm của BE và CF. Lấy điểm H khác phía với A đối với EF sao cho . a) Chứng minh rằng .
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Gọi M, N lần
lượt là các điểm đối xứng với D qua AI, KI. Chứng minh rằng
MN và AK cắt nhau tại một điểm trên BC.
Câu 4. (4,0 điểm). Cho hai số nguyên dương . Giả sử với mọi số
nguyên dương , ta đều có ( là số các số nguyên
dương không vượt quá và nguyên tố cùng nhau với ). Chứng minh rằng .
Câu 5 (4,0 điểm). Elmon có 2024 hộp bánh quy, ban đầu tất cả hộp
đều trống. Mỗi ngày, Elmon chọn hai hộp bánh phân biệt bất kì rồi cho
vào mỗi hộp một chiếc bánh quy. Hằng đêm, Cookie Monster tìm đến
hộp bánh có số bánh nhiều nhất và ăn toàn bộ số bánh trong hộp đó.
Nếu quá trình này diễn ra vô hạn thì số bánh nhiều nhất mà Cookie
Monster có thể ăn trong một buổi tối là bao nhiêu?
---------------Hết---------------
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN HDC ĐỀ ĐỀ XUẤT HSG DUYÊN HẢI VÀ BÁI ĐBBB TRƯỜNG THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2023 – 2024 NGUYỄN TẤT THÀNH
Môn: Toán – Lớp 11
(Đáp án gồm 04 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi và . a) Chứng minh rằng
có có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Hỏi có tồn tại hay không số thực để giới hạn tồn
tại, hữu hạn và khác 0? Nội dung Điể m 1,00 a) Có , giả sử , khi đó . Vậy . 1,00 Xét nên
là dãy giảm, bị chặn dưới bởi 2 nên hội tụ. 0,50 Đặt
. Từ công thức xác định dãy, chuyển qua giới hạn ta được . Vậy . 0,50 Giả sử tồn tại để (1) với và . Khi đó ta cũng có (2) 1,00 Từ (1) và (2) ta suy ra mâu thuẫn. Vậy không tồn tại
thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện: Nội dung Điểm Kí hiệu chỉ phép thế
vào phương trình ban đầu. 0,50 . 1,50 , suy ra . 1,50 suy ra . Do đó . 0,50 . Vậy thử lại thấy thỏa mãn.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có và điểm D nằm trên cạnh BC sao cho
. Đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABD cắt cạnh AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt
cạnh AB tại F. Gọi K là giao điểm của BE và CF. Lấy điểm H khác
phía với A đối với EF sao cho . a) Chứng minh rằng .
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Gọi M, N lần
lượt là các điểm đối xứng với D qua AI, KI. Chứng minh rằng
MN và AK cắt nhau tại một điểm trên BC. Nội dung Điểm 1,00 a) Ta có nên , suy ra H thuộc .
Mặt khác D là điểm miquel của tứ giác toàn phần AFKE.BC và
nên tứ giác AEKF nội tiếp. Do đó nên A, H, D thẳng hàng. Có nên HK song song BC. Mà 1,00 suy ra
nên tam giác DHK cân tại D. Suy ra .
b) Vì I là tâm đường tròn nên suy ra ID là trung
trực HK. Suy ra ID vuông góc HK hay ID vuông góc BC. 1,00 Do tính đối xứng nên
hay I là tâm đường tròn . MN cắt AK tại G. Ta có nên AIDK nội tiếp. Ta có
nên ADGM nội tiếp, suy ra 1,00 nên
DG là tiếp tuyến của đường tròn . Vì thế DG vuông góc
với ID hay G thuộc BC. Ta có điều phải chứng minh.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho hai số nguyên dương . Giả sử với mọi số
nguyên dương , ta đều có ( là số các số nguyên
dương không vượt quá và nguyên tố cùng nhau với ). Chứng minh rằng . Nội dung Điểm 0,50 Cho
và gọi là một ước nguyên tố của thỏa