Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Thái Bình

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÙNG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH ĐỀ BÀI
Câu 1 (5 điểm): Cho
là một dãy số thực tăng ngặt và thỏa mãn Chứng minh rằng
Câu 2 (5 điểm): Cho số nguyên dương . Số nguyên tố được gọi là số tốt nếu như:
Với mỗi số nguyên dương
đều tồn tại số nguyên dương thỏa mãn
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ là ước của thì không tốt.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ không là ước của thì tốt. Câu 3 (5 điểm): Hạ
CX, CY lần lượt vuông góc với BE, BA.
1) Chứng minh rằng X thuộc đường trung bình ứng với cạnh AB của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng trung điểm EF thuộc trung trực XY.
Câu 4 (5 điểm): Bạn Bảo có cái hộp, lần lượt chứa viên bi (số nguyên
). Bạn Bảo thực hiện việc cho thêm bi vào các hộp đó theo quy tắc
sau: Ở lượt đầu tiên, bạn ấy cho thêm vào mỗi hộp viên bi. Ở lượt thứ hai, với
các hộp có số bi chia hết cho , bạn ấy sẽ thêm vào mỗi hộp đó viên bi. Cứ
như vậy, ở lượt thứ (với
), nếu có hộp nào với số bi chia hết cho , bạn
Bảo sẽ thêm vào mỗi hộp đó viên bi. Tìm tất cả các số nguyên sao cho
kết thúc lượt thêm bi thứ thì mỗi hộp đều có đúng viên bi. Đáp án Điểm Câu 1 5 Cho
là một dãy số thực tăng ngặt và thỏa mãn điểm Chứng minh rằng Vì
là một dãy số thực tăng ngặt nên để chứng minh 1,0
ta chỉ cần đi chứng minh là không bị chặn trên.
Thật vậy, nếu điều ngược lại xảy ra, nghĩa là bị chặn trên
thì do tính đơn điệu và bị chặn (dãy dương), nên theo nguyên lý
Weierstrass, sẽ tồn tại số thực để
Với mỗi một số nguyên dương đặt , ta có 1,0
là dãy gồm các số thực dương, lúc này có
Lại để ý là theo bất đẳng thức về số , thì với số nguyên dương tùy ý ta luôn có
Lấy logarith hai vế để có được
Và vì thế với mỗi số nguyên dương , ta có Điều này dẫn đến là 1,0
Với mỗi số nguyên dương , đặt , thì ta có Từ và
ta thấy sẽ phải tồn tại số nguyên dương để sao cho 1,0 Lại đặt
, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có Từ đó dẫn đến là Nhưng ta lại có được 1,0
Kết hợp điều đó với đánh giá dẫn đến mâu thuẫn là
Và mâu thuẫn ấy, cho ta điều cần phải chứng minh. Câu 2
Cho số nguyên dương . Số nguyên tố được gọi là số tốt nếu 5 như: điểm
Với mỗi số nguyên dương
đều tồn tại số nguyên dương thỏa mãn
a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ là ước của thì không tốt.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ không là ước của thì tốt. 0,5
Trước hết ta có nhận xét có số dư khi chia
cho với là số nguyên tố lẻ (*) Nếu
, giả sử tốt thì theo đề bài với mỗi số nguyên dương 0,5
đều tồn tại số nguyên dương thỏa mãn 1
Tuy nhiên từ nhận xét (*) do nên tồn tại số nguyên
dương sao cho luôn khác dư với mọi x (điều này
cho ta vô lý) tức giả sử sai hay p không tốt Nếu . Với mỗi số , ta sẽ chỉ ra tập thỏa 0,5 mãn 1 Ta xét tập sẽ có số dư khi chia cho Ta xét tập sẽ có số dư khi chia cho do
Giả sử với mọi x thuộc A, y thuộc B, x khác dư y (modp) suy ra sẽ có
số dư khi chia cho p (vô lý) Do đó tồn tại
sao cho x đồng dư với y (mod p) hay Hay hay p là số tốt Câu 3 5
Hạ CX, CY lần lượt vuông góc với BE, BA. điểm
1) Chứng minh rằng X thuộc đường trung bình
ứng với cạnh AB của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng trung điểm EF thuộc trung trực XY. 1) T 2 đ A X S E F Y B C Gọi CX cắt AB tại T.
BX là phân giác góc TBC và cũng là đường cao trong tam giác TBC. Tam giác BTC cân tại B. X là trung điểm CT.
X nằm trên đường thẳng nối trung điểm AC và
BC nên X thuộc đường trung bình ứng với AB của