Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Thái Nguyên

SỞ GD &ĐT THÁI NGUYÊN
ĐỀ ĐỀ XUẤT KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT NĂM 2024
Môn: TOÁN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi với mọi Với mỗi đặt . Tìm
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn:
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, một đường tròn đi qua A và C, cắt BC tại D. Đường tròn
tiếp xúc với các đoạn thẳng lần lượt tại và tiếp xúc
ngoài với tại M. Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác Chứng minh rằng a) b) Phân giác của
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Câu 4 (4.0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho là một lũy thừa của 3.
Câu 5 (4,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp gồm hữu hạn các số thực không âm khác nhau sao cho:
i, chứa ít nhất 4 phần tử
ii, Với 4 phần tử bất kì khác nhau thuộc , ta có HẾT
SỞ GD &ĐT THÁI NGUYÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT NĂM 2024
Môn: TOÁN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy số xác định bởi 4,0 với mọi Với mỗi đặt . Tìm Lời giải. Từ giả thiết suy ra . 1,0 Suy ra do đó . 1,0 Xét . . Suy ra 1,0 . Ta có . .
Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. . 1,0 Do đó .
Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn: 4,0
Lời giải. Lần lượt thế y bởi và ta được 1,0
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được suy ra và (*) 1,0
Nhận xét: Hai hàm số thoả mãn yêu cầu bài toán.
Ta đi chứng minh không còn hàm số nào thoả mãn bài toán ngoài hai hàm số trên.
Thật vậy giả sử tồn tại hàm số f khác hai hàm số trên thoả mãn yêu cầu bài
toán. Khi đó hàm số f phải thoả mãn điều kiện (*) 1,0 Vì nên tồn tại sao cho và nên tồn tại sao cho .
Thay x = 0 vào đề bài vào với (*) ta có
Do đó ta có thể giả sử và (3) Mặt khác thay ta được (4) 1, Từ (3), (4) và (*) ta có 0 (Mâu thuẫn).
Vậy có hai hàm số thoả mãn
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, một đường tròn đi qua A và C, 4, 0
cắt BC tại D. Đường tròn
tiếp xúc với các đoạn thẳng lần lượt tại
và tiếp xúc ngoài với tại M. Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác Chứng minh rằng a) b) Phân giác của
đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác Lời giải.
a) Gọi T, N là trung điểm của cung AC không chứa B và D của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC và đường tròn . I và K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp
các tam giác ABC và ADC.
Theo bổ đề Sawayama – Thebault ta có E, F, J thẳng hàng. Khi đó ta có 1,0 b) Ta có
suy ra EJAI là tứ giác nội tiếp 1,0 Khi đó ta có từ đó suy ra
Ta có các biến đổi góc sau:
Mặt khác do T, N là trung điểm của cung AC không chứa B và D của đường tròn 1,0