Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN PHÚ
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XIV, NĂM 2024 ĐỀ ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11
(Đề thi gồm 01 trang)
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên , phương trình có một nghiệm thuộc và một nghiệm và dãy số
hội tụ đến , dãy số hội tụ đến .
Câu 2 (4 điểm). Xét một đa thức
có bậc ít nhất là sao cho tất cả các nghiệm của nó là phân
biệt và thực. Chứng minh rằng tồn tại một số hữu tỉ
sao cho mọi nghiệm của đa thức đều là số thực.
Câu 3 (4 điểm). Cho đường tròn và hai đường tròn ,
tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp
xúc trong với đường tròn
. Gọi là tiếp điểm của hai đường tròn và ; , lần
lượt là tiếp điểm của đường tròn với hai đường tròn ,
. Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn , cắt đường tròn tại hai điểm ,
sao cho , nằm cùng phía so với đường thẳng ; cắt lại đường tròn tại ; cắt lại đường tròn tại . Đường thẳng cắt đường tròn ở , . a) Chứng minh rằng
và là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng , , đồng quy.
Câu 4 (4 điểm). Cho hai hàm số
thỏa mãn các điều kiện . Chứng minh rằng nếu
thì có vô số điểm bất động.
Câu 5 (4 điểm). Xét một
giác đều. Mỗi đỉnh của đa giác này ta có thể tô màu hoặc không. Cho
phép thực hiện phép biến đổi theo qui tắc: mỗi lần chọn lấy một đa giác đều có các đỉnh thuộc tập
các đỉnh của đa giác ban đầu và có tâm trùng với tâm của đa giác đều đã cho rồi thay đổi trạng thái
tại các đỉnh của nó (đỉnh không được tô màu thì sẽ tô màu cho nó còn đỉnh đã được tô màu thì lại
xoá màu đó đi). Chứng minh rằng, tại thời điểm ban đầu ta có thể tô màu một số đỉnh nào đó của
giác đều để sao cho, bằng cách thực hiện liên tiếp các phép biến đổi nói trên, ta không thể xoá
màu cho tất cả các đỉnh của
giác trong mỗi trường hợp sau. a) b)
Qui ước: đoạn thẳng được xem là nhị giác đều có tâm là trung điểm của đoạn thẳng đó. ------- HẾT -------
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN – KHỐI 11
(Hướng dẫn này có 05 trang) Câu Nội dung Điểm Câu 1
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên , phương trình có một
(4 điểm) nghiệm thuộc và một nghiệm và dãy số hội tụ đến , dãy số hội tụ đến . Xét hàm số liên tục trên . Ta có cho nên
đồng biến trên khoảng và
nghịch biến trên khoảng . 1,0đ Ta có nên phương trình có nghiệm ). Ta có nên tồn tại sao cho . Ta có cho nên . 1,0 đ Đặt (hay ), khi đó 2,0 đ Cho nên Mà nên từ suy ra Câu 2 Xét một đa thức
có bậc ít nhất là sao cho tất cả các nghiệm của nó là phân
(4 điểm) biệt và thực. Chứng minh rằng tồn tại một số hữu tỉ sao cho mọi nghiệm của đa thức đều là số thực.
Giả sử các nghiệm của đa thức bậc là . 1 đ Ta có và
có dấu không đổi trên mỗi khoảng ,
. Do đó đạt cực đại tại nếu dương trong khoảng này và đạt cực tiểu
nếu âm trong khoảng này. Đặt Xét , đa thức
. Giả sử không mất tính tổng quát rằng
là điểm cực đại; khi đó 2,0 đ và do đó có sao cho . Như vậy đa thức bậc và có nghiệm thực là , cho nên tất 1,0 đ
cả các nghiệm của đa thức
đều là số thực. Ta chỉ cần chọn là số hữu tỷ trong khoảng
là có điều cần chứng minh. Câu 3 Cho đường tròn và hai đường tròn ,
tiếp xúc ngoài với nhau và tiếp
(4 điểm) xúc trong với đường tròn . Gọi là tiếp điểm của hai đường tròn và ; ,
lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với hai đường tròn ,
. Tiếp tuyến chung tại của hai đường tròn , cắt đường tròn tại hai điểm ,
sao cho , nằm cùng phía so với đường thẳng ; cắt lại đường tròn tại ; cắt lại đường tròn tại . Đường thẳng cắt đường tròn ở , . a) Chứng minh rằng
và là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác .
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng , , đồng quy. a) Ta có , suy ra
là tứ giác nội tiếp. Dẫn đến 1,0 đ hay
là điểm chính giữa cung . Từ đó . Ta có hay (1) Theo câu a, ta có là phân giác của (2) 1,0 đ
Từ (1) và (2) suy ra là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . b) Gọi , ,
lần lượt là bán kính của các đường tròn , và . Giả sử cắt tại . Ta có ,
lần lượt là tiếp điểm của hai đường tròn 0,5 đ và
Từ đó suy ra là tâm vị tự ngoài của hai đường tròn và nên 0,5 đ . Lại có . Suy ra . Dẫn đến 3 điểm , ,
thẳng hàng (Định lý Menelaus đảo). Vậy, 3 đường thẳng , , đồng 1,0 đ quy. Câu 4 Cho hai hàm số
thỏa mãn các điều kiện (4 điểm) . Chứng minh rằng nếu
thì có vô số điểm bất động. Ta có P={số nguyên tố sao cho } là tập vô hạn. Từ cho ta được 1 đ . (1) Nếu (
) thì tồn tại số nguyên sao cho ; 1,5 đ
trong khi đó từ (1) suy ra với (2) do đó , cho nên , vô lý.