Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Tuyên Quang

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TUYÊN QUANG
CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LÂN XV ĐỀ ĐỀ XUẤT MÔN: TOÁN 11
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề này có 01 trang)
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy axác định bởi: . Tìm nhỏ nhất thỏa mãn
Câu 2 (4,0 điểm). Cho
là các số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác
cân tại nội tiếp đường tròn Các điểm lần lượt thuộc các cạnh cắt lần lượt tại khác Đường tròn cắt tại đường tròn cắt ại Chứng minh rằng đồng quy.
Câu 4 (4,0 điểm). Với mọi tập hữu hạn ta quy ước Giả sử
là tất cả tập con có 100 phần tử của tập Chứng minh rằng
Câu 5 (4,0 điểm). Trong mội hội nghị có 2024 người. Biết rằng:
i) Không có người nào quen tất cả mọi người;
ii) Hai người bất kì không quen nhau thì có đúng 1 người quen chung;
iii) Không có 3 người nào đôi một quen nhau. Chứng minh rằng:
a) Hai người không quen nhau thì có số người quen bằng nhau.
b) Tất cả mọi người có số người quen bằng nhau. -----HẾT-----
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HSG CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC
DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN XV -----
Câu 1 (4,0 điểm). Cho dãy axác định bởi: . Tìm nhỏ nhất thỏa mãn Hướng dẫn chấm Điểm Ta có và
. Chứng minh bằng quy nạp ta được 1,0 (*). Ta lại có 2,0 Do đó: Suy ra .
Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy
tăng. Do đó nếu dãy có giới hạn hữu hạn thì . Vì phương trình có duy nhất nghiệm là , bởi vậy dãy
không có giới hạn hữu hạn. Suy ra 1,0 (**). Với mọi thì từ suy ra tồn tại sao cho . Do đó
Câu 2 (4,0 điểm). Cho
là các số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng Hướng dẫn chấm Điểm
Bất đẳng thức tương đương 2,0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
Cộng các kết quả tương tự ta được
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2,0
Ta có điều phải chứng minh.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho tam giác
cân tại nội tiếp đường tròn Các điểm lần lượt thuộc các cạnh cắt lần lượt tại khác Đường tròn cắt tại đường tròn cắt ại Chứng minh rằng đồng quy. Hướng dẫn chấm Điểm 1,0 Vì tam giác cân nên (góc nội tiếp). Tương tự thì Suy ra đồng viên. Hơn nữa vì tam giác cân nên 1,0 Mặt khác nên do đó là tiếp tuyến của