Đề thi HSG Toán 11 Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023- 2024 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Môn: TOÁN – LỚP 11
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 01 trang, 05 bài
Câu 1 (4,0 điểm). Xét dãy số được xác định bởi và
là số thực lớn hơn thỏa mãn a) Chứng minh rằng dãy xác định duy nhất.
b) Chứng minh rằng dãy số
có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (4,0 điểm). Xét các số nguyên thỏa mãn . Đặt
a) Tìm giá trị lớn nhất của . P b) Giả sử Chứng minh rằng
và hãy đếm số bộ có thứ tự để dấu bằng xảy ra.
Câu 3 (4,0 điểm). Cho hai đường tròn
có bán kính khác nhau và cắt nhau ở Đường tròn tâm bán kính cắt lại ở Gọi
là tiếp tuyến chung gần hơn của hai đường tròn với . Các tia cắt theo thứ tự ở
a) Chứng minh rằng phân giác trong của góc
thì đi qua tâm ngoại tiếp tam giác b) Gọi
là trực tâm của tam giác và
cắt lại các đường tròn lần lượt ở Chứng
minh rằng đường tròn nội tiếp các tam giác và có bán kính bằng nhau.
Câu 4 (4,0 điểm). Xét dãy số thực dương thoả mãn với mọi
a) Cho là số nguyên dương chẵn. Chứng minh rằng nguyên với mọi và với mọi b) Giả sử
, trong đó m là số nguyên dương và là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho là số nguyên với mọi
Câu 5 (4,0 điểm). Một khóa học hè có học sinh học tập trong ngày liên tục và mỗi ngày một bạn
làm trực nhật lớp. Biết rằng với bất kỳ học sinh nào, cūng có một giai đoạn 15 ngày liên tiếp mà trong
giai đoạn này số ngày học sinh đó trực nhật nhiều hơn tất cả các bạn khác trong lớp. a) Chứng minh rằng nếu
thì giá trị lớn nhất có thể của bằng . b) Trong trường hợp
, tìm giá trị lớn nhất có thể của . ------Hết-----
Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Giám thị KHÔNG giải thích gì thêm. TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĨNH PHÚC
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2023- 2024
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Môn: TOÁN – LỚP 11 (ĐỀ ĐỀ XUẤT)
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đáp án gồm 05 trang I. HƯỚNG DẪN CHUNG
1. Giám khảo chấm đúng như đáp án, biểu điểm.
2. Nếu thí sinh có cách trả lời khác đáp án nhưng đúng thì giám khảo vẫn chấm điểm theo biểu điểm
của Hướng dẫn chấm thi.
3. Giám khảo không quy tròn điểm thành phần của từng câu, điểm của bài thi.
II. ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Câu 1 (4,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 1a) 2,0 Với mỗi , xét hàm trên . 1,0 Ta có nên hàm đồng biến trên Giả sử đã có thì và nên 1,0 tồn tại duy nhất số sao cho , tức là
thoả mãn đề bài. Vậy dãy luôn
xác định một cách duy nhất. 1b) 2,0 Do
với mỗi số nguyên dương nên 1,0 Dễ thấy hàm số đồng biến trên nên ta được . Do đó dãy là
giảm và bị chặn dưới bởi nên
có giới hạn hữu hạn, giả sử với . Khi đó 0,5
Chuyển qua giới hạn ta được
Áp dụng định lý Stolz cho dãy , ta có 0,5 Hay Từ đó suy ra Vậy
Câu 2 (4,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 2a) 1,0 0,5 Ta có Suy ra
. Dấu bằng xảy ra khi tất cả các số bằng 99. Vậy giá trị lớn nhất 0,5 của P bằng 2 2.99 . 2b) 3,0 Ta có 0,5
Với số tự nhiên x thì 2
x x . Dấu bằng xảy ra khi . Do đó 1,0 P t  
 t    t2 2 2 2 2 2 99 2 99 2
 t  2.98t  2.99 Đặt thì 0,5 Do đó Dấu bằng xảy ra khi và . 0,5
Từ đó dễ thấy dãy số như trên thoả mãn khi và chỉ khi mỗi số từ 1 đến 49 xuất hiện ít nhất 2 lần.
Gọi xi là số lần xuất hiện của số i, với 1 i  4  9 trong dãy .
Từ đó quy về đếm số nghiệm nguyên dương của PT: mà mỗi số x 2  i . Đặt
, ta quy về phương trình: và y 1  0,5 i .
Theo kết quả bài toán chia kẹo Euler ta được đáp số bài toán là .
Câu 3 (4,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 3a) 2,0 E F B N M O O' D A C Do nên trong đường tròn ta có , từ đó có là hai tam 0,5 giác đồng dạng. Suy ra hay .
Chứng minh tương tự thì nên kéo theo nội tiếp. Vì 0,5 thế nên Mặt khác nên , 0,5 điều này kéo tiếp xúc với
Chứng minh tương tự thì tiếp xúc với nên tâm của cách đều hai đoạn 0,5
, nói cách khác thì phân giác trong góc thì đi qua tâm . 3b) E M F B s t 2,0 O O' I J R X H A Y S 0,5 Giả sử cắt tại thì dễ thấy nên là trung điểm Ta có
nên là điểm Humpty của tam giác
. Vì thế theo tính chất quen thuộc thì (điểm
Humpty là hình chiếu của trực tâm lên trung tuyến). Do đó:
chính là các đường kính của