Trọng tâm kiến thức Toán lớp 11

Trọng tâm kiến thức Toán lớp 11
CHỦ ĐỀ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, O .
v Xét một tia Om cùng nằm trong mặt phẳng
này. Nếu một tia Om quay quanh điểm O , theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov , thì ta
nói tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).
Quy ước: Chiều dương là chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ, chiều
âm là chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.
Khi tia Om quay một góc , ta nói số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) bằng ,
kí hiệu sđ (Ou,Ov) = . Một số ví dụ
sđ (Ou,Ov) = 360
sđ (Ou,Ov) = 720
sđ (Ou,Ov) = 1 − 80
sđ (Ou,Ov) = 5 − 40
Nhận xét: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov sai
khác nhau một bội nguyên của 360° nên có công thức tổng quát là:
sđ (Ou,Ov) =  + k360 (k  ) , thường viết là (Ou,Ov) =  + k360 ,
với  là số đo của một góc lượng giác bất kì có tia đầu Ou và tia cuối Ov.
Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:
sđ (Ou,Ov) + sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + k360 (k  ). 3
Trọng tâm kiến thức Toán lớp 11 2. Đơn vị radian
Đơn vị radian: Cho đường tròn tâm O , bán kính R tùy ý, góc
ở tâm chắn một cung có độ dài đúng bằng R được gọi là một
góc có số đo 1 rađian (đọc là 1 ra-đi-an, viết tắt là 1 rad).
Quan hệ giữa độ và rađian: 180 =  rad ;  180   1 = rad và 1 rad =   . 180   
3. Độ dài cung tròn
Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo  rad thì có độ dài l = R .
4. Đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn tâm O
bán kính bằng 1. Trên đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm
gốc, chiều dương là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ
và chiều âm là chiều cùng chiều quay của kim đồng hồ. Đường
tròn cùng với gốc và chiều như vậy được gọi là đường tròn lượng giác.
Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng
giác có số đo  (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn
lượng giác sao cho (OA,OM ) =  .
II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Đổi đơn vị đo góc
Phương pháp giải: Áp dụng công thức chuyển đổi số đo từ đơn vị rađian sang độ và ngược lại 180    a  rad = ; a = rad  .     180
Ví dụ. Hoàn thành bảng sau: Số đo độ 30° ? ? 150° ? – 380°  4 25 Số đo radian ? − ? ? 5 15 18 4
Trọng tâm kiến thức Toán lớp 11 Lời giải     180   4  4  180   Ta có 30 = 30 = ; =  = 36 ;  − = −  = −48       ; 180 6 5 5    15  15      5 25 25 180    =  = =  =  −  =   (− )  19 150 150 ; 250 ; 380 380  = − . 180 6 18 18    180 9
Từ đó ta có bảng như sau: Số đo độ 30° 36° – 48° 150° 250° – 380°   4 5 25 19 Số đo radian − − 6 5 15 6 18 9
Dạng 2. Tính độ dài cung tròn
Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn.
Xét đường tròn có bán kính R , cung tròn có số đo  rad thì có độ dài l = R .
Ví dụ. Một đường tròn có bán kính 25 cm. Tính độ dài của các cung trên đường tròn đó có  số đo sau: a) . b) 120 . 4 Lời giải   25
a) Độ dài của cung tròn có số đo là l = 25 = 19,63 cm . 1 ( ) 4 4 4  2 b) Ta có 120 = 120 = . 180 3  2  2 50
Độ dài của cung tròn có số đo 120° hay   là l = 25 =  52,36 cm . 2 ( )  3  3 3
Dạng 3. Số đo của góc lượng giác
Phương pháp giải: Để xác định số đo của góc lượng giác, ta cần chú ý đến chiều quay
(chiều dương: ngược chiều quay của kim đồng hồ, chiều âm: cùng chiều quay của kim
đồng hồ). Từ đó xác định chính xác số đo của góc lượng giác (Ou,Ov).
Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou , Ov , Ow bất kì, ta có:
sđ (Ou,Ov) + sđ (Ov,Ow) = sđ (Ou,Ow) + k360 (k  ).
 Chú ý: Số đo của các góc lượng giác có cùng tia đầu Ou và tia cuối Ov sai khác
nhau một bội nguyên của 360° nên có công thức tổng quát là:
sđ (Ou,Ov) =  + k360 (k  ) . 5
Trọng tâm kiến thức Toán lớp 11
Ví dụ. Cho một góc lượng giác (Ox,Ou) có số đo 175° và một góc lượng giác (Ox,Ov)
có số đo là 125°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov). Lời giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov là:
sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, v
O ) − sđ (Ox,Ou) + k360 =125−175+ k360 = 5 − 0 + k360
= 310 − 360 + k360 = 310 + (k − ) 1 360 = 310 + 3
m 60 (m = k −1, m ,  k  ).
Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 310 + 3
m 60 (m ).
Dạng 4. Biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn lượng giác
Phương pháp giải: Để biểu diễn góc lượng giác có số đo  trên đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:
Bước 1. Vẽ đường tròn lượng giác.
Bước 2. Chọn gốc A(1; 0) làm điểm đầu của góc.
Bước 3. Xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM ) = .  Chú ý:
– Nếu   2 ta phân tích  =  + k2 , với 
−     . Khi đó, ta chỉ cần xác định
điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA,OM ) =  . k2
– Nếu ta có (Ou,Ov) =  +
(k,n ) thì góc lượng giác (Ou,Ov) sẽ có n điểm n
biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 1. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo như sau: 25 a) ; b) 1 − 485 . 4 Lời giải 25   a) Ta có =
+ 6 = + 3 2 . Vậy điểm biểu diễn góc 4 4 4 25 lượng giác có số đo
là điểm M trên phần đường tròn 4 
lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho  AOM = . 4 6