6 đề minh họa vào 10 Toán (năm 2025)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI
NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ MINH HỌA Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (1,5 điểm)
1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm 40; 42.
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12
phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, ,
 11, 12; chiếc kim được gắn cố
định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố M : “Chiếc kim chỉ vào
hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố M .
Bài 2. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: x  4  A  và 3 2 x 3 B  
với x  0, x  4. x x  2 4  x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9. 2) Chứng minh x  3 B  . x  4
3) Xét biểu thức P  A . B Chứng minh 2 P  P .
Bài 3. (2,5 điểm)
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số
tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6% / năm và khoản đầu tư
thứ hai là 8% / năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế,
mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày
theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi
ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được
trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai  2
x  3x  a  0 có một nghiệm là 3 5 x  . Tìm tổng bình 2
phương hai nghiệm của phương trình trên.
Bài 4. (4,0 điểm)
1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là 15 cm, đường
kính đáy là 5 cm, lượng nước tinh khiết trong ly cao 10 cm. Ly
nước được đặt cố định trên mặt bàn bằng phẳng như hình vẽ dưới đây.
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và
ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài.
Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể).
2) Cho đường tròn O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia
MA lấy điểm C khác điểm M . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng BC.
a) Chứng minh bốn điểm O, M , H, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Hai đường thẳng MB và OH cắt nhau tại E. Chứng minh MHO  MNA và
ME  MH  BE  HC.
c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn O và đường tròn ngoại tiếp tam giác MHC.
Chứng minh ba điểm C, P, E là ba điểm thẳng hàng.
Bài 5. (0,5 điểm) Trong buổi thăm quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình
chữ nhật ABCD cùng loại, có chiều dài 10 m và chiều rộng 6 m; với M , N lần lượt là trung điểm
của AD, BC (hình 1).
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác
(hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác AMD và tam giác BNC, với độ dài
cạnh đáy của hai tam giác cân này là x (m). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không
trải thành đáy lều). Tìm x để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.
----------HẾT----------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI
NĂM HỌC: 2025 – 2026 ĐỀ MINH HỌA MÔN: TOÁN
Hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1. (1,5 điểm)
1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm 40; 42.
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12
phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, , 11, 12; chiếc kim được gắn cố
định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố M : “Chiếc kim chỉ vào
hình quạt ghi số chia hết cho 4”. Tính xác suất của biến cố M. Hướng dẫn giải
1) Tần số ghép nhóm của nhóm 40; 42 là 5.
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm 40; 42 là: 5 f  100%  12,5%. 40
2) Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”.
Số kết quả xảy ra của phép thử là: n 12.
Xét biến cố M : “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4”.
Ta có các kết quả thuận lợi để biến cố M xảy ra là: 4; 8; 12.
Do đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố M .
Suy ra xác suất của biến cố M là PM  3 1   . 12 4
Bài 2. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: x  4  A  và 3 2 x 3 B  
với x  0, x  4. x x  2 4  x
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  9. 2) Chứng minh x  3 B  . x  4
3) Xét biểu thức P  A . B Chứng minh 2 P  P . Hướng dẫn giải
1) Thay x  9 (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức A , ta được: 9  4 5 A   . 9 3
Vậy với x  9 thì 5 A  . 3
2) Với x  0, x  4, ta có: 3 2 x 3 3 2 x 3 B     x  2 4  x x  2 x  4
3 x  22 x 3 3 x 6 2 x 3 x  3    
x  2 x  2
 x 2 x 2 . x  4
Vậy với x  0, x  4 thì x  3 B  . x  4
3) Với x  0, x  4, ta có: x  4 x  3 x  3 3 ⦁ P  AB     1  0. Do đó P  0. x x  4 x x  3  3 3 ⦁ 1 P 1 1 11     
0 . Do đó 1 P  0 .  x  x x
Suy ra P1 P  0 hay 2
P  P  0 nên 2 P  P . Vậy 2 P  P .
Bài 3. (2,5 điểm)
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số
tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6% / năm và khoản đầu tư
thứ hai là 8% / năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế,
mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày
theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi
ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được
trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai  2
x  3x  a  0 có một nghiệm là 3 5 x  . Tìm tổng bình 2
phương hai nghiệm của phương trình trên.