Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 có giải chi tiết

CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình lượng giác
1.1. Phương trình lượng giác cơ bản
a) Phương trình sin x = m (1)
 Với m  1, phương trình (1) vô nghiệm.    
 Với m  1, gọi  là số thực thuộc đoạn  ;  sao cho sin  m . 2 2   
x    k2
Khi đó, ta có: sin x  m  sin x  sin  k   .
x     k2  Chú ý:
– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x  m : 
 sin x  1  x   k2 k   ; 2 
 sin x  1  x    k2 k   ; 2
 sin x  0  x  k k   .
– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sin x  sin a như sau:
x  a  k360
sin x  sin a  k    .
x  180  a  k360
b) Phương trình cos x = m (2)
 Với m  1, phương trình (2) vô nghiệm.
 Với m  1, gọi  là số thực thuộc đoạn 0;  sao cho cos  m .
x    k 2
Khi đó, ta có: cos x  m  cos x  cos  k   .
x    k 2  Chú ý:
– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x  m :
 cos x 1  x  k2 k   ;  cos x  1
  x    k2 k   ; 
 cos x  0  x   k k   . 2
– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cos x  cos a như sau:
x  a  k360
cos x  cos a  k    .
x  a  k360
c) Phương trình tan x = m
Gọi  là số thực thuộc khoảng    ;   
sao cho tan  m . Khi đó, ta có: 2 2   
tan x  m  tan x  tan   x    k k   .
 Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
tan x  tan a như sau:
tan x  tan a  x  a  1
k 80 k   .
d) Phương trình cot x = m
Gọi  là số thực thuộc khoảng 0;  sao cho cot  m . Khi đó, ta có:
cot x  m  cot x  cot   x    k k   .
 Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho
cot x  cot a như sau:
cot x  cot a  x  a  1
k 80 k   .
1.2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản
 f x  g x  k 2
 sin f  x  sin g x    k  .
 f x    g x k 2
 f x  g x  k 2
 cos f  x  cos g x   k   .
 f x  g x k 2
 Với phương trình có dạng: 2 u x 2  v x 2 u x  2  v x  2 u x  2 sin sin , cos cos , sin
 cos v x  ,
ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng cos f x  cos g x .
 Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về
phương trình dạng tích AxB x  0.
2. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit 2.1. Phương trình mũ
Phương trình mũ cơ bản: x
a  b (với a  0,a  1).
– Với b  0, ta có x
a  b  x  log b . a
– Với b  0 , phương trình đã cho vô nghiệm.
Một số dạng phương trình mũ thường gặp:
• Với a  0,a  1,b  0 : f x a
 b  f x  log b . a
• Nếu a  0,a  1: f x g x a  a
 f x   g x  .
• Phương trình dạng: f x gx a  b
, với a b  1 1 a,b  0 ta sẽ giải như sau: gx f x gx f x   1  a  b  a    1
a gx g x   a
 f x     g x  .  a  • Phương trình dạng: 2 f x f x ma  n a  p  0 . Ta đặt    f x t a vì f x a
 0 nên ta có điều kiện t  0 đưa phương trình về dạng: 2
mt  nt  p  0 .
2.2. Phương trình lôgarit
• Phương trình lôgarit cơ bản: log x  b a  0,a 1  x  b a . a
• Với a  0,a  1 thì:
 log f x  b  f x  b a . a
 f x  g x  log f x g x . a
   loga     f x0  g x   0
2.3. Bất phương trình mũ
a) Bất phương trình mũ cơ bản
• Bất phương trình mũ cơ bản: x
a  b (hoặc x  , x  , x a b a
b a  b ) với a  0,a  1.
• Ta xét bất phương trình có dạng x a  b :
– Nếu b  0 , thì tập nghiệm của bất phương trình là S  vì x
a  0 x .
– Nếu b  0 , thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a .
 Với a  1 thì bất phương trình x
a  b  x  log b . a
 Với 0  a 1 thì bất phương trình x
a  b  x  log b . a
Tương tự với bất phương trình có dạng f x a  b .
– Nếu b  0 , thì tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f x .
– Nếu b  0 , thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a .
 Với a  1 thì bất phương trình f x a
 b  f x  log b . a
 Với 0  a 1 thì bất phương trình f x a
 b  f x  log b . a
b) Bất phương trình mũ dạng: f x gx a  a
– Nếu a 1 thì f x gx a  a
 f x   g x  (cùng chiều dấu).
– Nếu 0  a 1 thì f x gx a  a
 f x   g x  (ngược chiều dấu).
– Nếu a chứa ẩn thì f x gx a  a  a  
1  f x  g x  0  .
c) Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa
Xét phương trình dạng: f x gx a  b
* với 1 a,b  0 .
– Nếu a 1, lấy lôgarit hai vế ta được:  f x g x   log a  b
 f x  g xlog b . a loga a
– Nếu 0  a 1, lấy lôgarit hai vế ta được:  f x g x   log a  b
 f x  g xlog b . a loga a
 Chú ý: Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.
2.4. Bất phương trình lôgarit
a) Bất phương trình lôgarit cơ bản
• Bất phương trình lôgarit cơ bản:
log x  b (hoặc log x  b x b
x b) với a  0,a  1. a ,log  a ,log  a a
• Ta xét bất phương trình có dạng log x  b . a
– Nếu a 1 thì log x  b  x  b a . a
– Nếu 0  a 1 thì log x  b  0  x  b a . a
Tương tự với bất phương trình có dạng log f x  b . a
– Nếu a 1 thì log f x  b  f x  b a . a
– Nếu 0  a 1 thì log f x  b  0  f x  b a . a
b) Bất phương trình lôgarit dạng: log f x  log g x  a  0, a  a a 1  g x  0
– Nếu a 1 thì log f x 
g x  f x  g x    0  . a loga   
 f x  g x  f x  0
– Nếu 0  a 1 thì log f x 
g x  0  f x  g x    . a loga   
g x  f x 
f x  0, g x  0
– Nếu a chứa ẩn thì log f x  g x  . a loga     a   1 
 f x  g x  0 
 Chú ý: Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự. II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
Ví dụ 1. Phương trình sin   x      1 có nghiệm là  3  A.  
x   k2 k   . B. 5 x 
 k k  . 3 6 C. 5  x 
 k2 k   .
D. x   2 k   . 6 3 Lời giải