Bộ 12 Chủ đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025

CHỦ ĐỀ 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI 1. RÚT GỌN BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1. Các hằng đẳng thức
Các hằng đẳng thức đã học: • 2 2
a  2ab  b  a  b2 ; • 2 2
a  2ab  b  a  b2 •      2 2
a b a b  a b
• a b3 3 2 2 3
 a  a b  ab b   3 3 3 3
a b 3aba b
• a b3 3 2 2 3
 a  a b  ab b   3 3 3 3
a b 3aba b A khi A  0 • 2
A  A  A khi A0 2. So sánh hai căn
Với A  B  0 thì ta có A  B .
3. Liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương
• Khai phương của một tích: .
A B  A  B  A  0, B  0 . Đặc biệt  2 A  A.
• Khai phương của một thương: A A 
A  0, B  0. B B
4. Đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn
Với B 0 ta có:  . A B khi A  0  2 • 2
A B  A  B 
 A .B khi A  0  . • A B   .
A B khi A  0 2
 A B khi A  0
5. Trục căn thức ở mẫu Với ,
A B, C là các biểu thức và các biểu thức có nghĩa • A AB  ; A A B  ; B B B B
C  A  B
C  A  B C C  •  ;  ; A  B A  B A  B A  B
C  A  B
C  A  B C C  •  ;  ; A  B A B A  B A B C 3 2 3 3 2
A  AB  B  C 3 2 3 3 2
A  AB  B C  •   ; 3 3 A  B 3 3
A  B 3 2 3 3 2
A  AB  B  A  B C 3 2 3 3 2
A  AB  B  C 3 2 3 3 2
A  AB  B C  •   ; 3 3 A  B 3 3
A  B 3 2 3 3 2
A  AB  B  A  B
• Với A  B thì 3 3 3 3 3
A  B ; AB  A  B ; 3 • A A  B  0 3 3 ; A  B nên 3 A  B ; 3 B B 1 1
• Với B  k thì  chỉ đúng khi , B k cùng dấu. B k
II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
Dạng 1. Biểu thức chứa căn bậc hai A = a ± 2b c c  0 .
Phương pháp giải: Biến đổi biểu thức trong căn dưới dạng bình phương.
a  b c  m n c2 2
suy ra a  2b c  m  n c .
Ví dụ 1. Rút gọn M  4  2 3. Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có 2
4  2 3 1  21 3   3  1 3 . Do đó   2 1 3  3 1  3 1.
Vậy M  4  2 3  3 1.
Ví dụ 2. Rút gọn N  2112 3 . Hướng dẫn giải: 2 2 Ta có 2
2112 3  3  232 3  2 3  32 3 . Do đó   2
3 2 3  3 2 3  2 3 3 .
Vậy N  2112 3  2 3  3 .
Biểu thức có dạng A = a + b c ± a  b c (b lẻ)
Ví dụ 3. Rút gọn E  7  3 5  7  3 5 . Hướng dẫn giải:
Cách 1: Nhân hai vế với 2 và đưa về Dạng 1.
Ta có E 2  14  23 5  14  23 5 2       2 2
3 2 3 5 5  3  23 5  5 2
   2    2 3 5 3
5  3 5  3 5  3 5  3 5  6 .
Khi đó E 2  6 nên E  3 2 .
Cách 2: Bình phương hai vế và rút gọn. Ta có 2
A  7  3 5  2 7 3 57 3 5   7 3 5 14 2 49 45 18 .
Vì A  0 nên A  18  3 2.
Dạng 2. Biểu thức chứa căn bậc b , dạng 3 3
A = a + b c ± a  b c
Phương pháp 1. Vận dụng hằng đẳng thức bậc 3 để đưa a  b c và a b c về luỹ
thừa bậc 3. Khi đó    3    3 3 3 A m n c
m n c  m  n c   m  n c . Ví dụ 5. Rút gọn 3 3
A  5 2  7  5 2  7 . Hướng dẫn giải: 3 Ta có  2  
1  2 2 13. 2  2  1  5 2 7.
Do đó A    3    3 3 3 2 1
2 1   2 1  2 1 2 .
 Chú ý: Để kiểm tra     3 a b c
m n c đúng hay chưa, ta có thể thử chiều ngược lại,
thông thường nên thử với n 1.
Phương pháp 2. Mũ ba hai vế và đưa về giải phương trình bậc ba
Vẫn với ví dụ trên, rút gọn: 3 3
A  5 2  7  5 2  7 . Ta có: 3
A  5 2  7 5 2  7 3 3
 3 5 2  7  5 2  7  3 3 5 2  7  5 2  7  3 3
 14  3 50  49  A A  3 A14  0
Suy ra  A   2
2 A  2A  7  0 hay  A A 2 2 1  6  0   .
Do đó A  2  0 (vì  A  2
1  6  0) nên A  2  . 
Chú ý: Từ Phương pháp 2, ta chứng minh một biểu thức dạng
x  a  b c  a  b c hay 3 3
x  a  b c  a  b c là nghiệm của một phương
trình bậc hai hay bậc ba (cách làm là luỹ thừa bậc hai hay bậc ba như trên ta có phương trình của đề bài).
Ví dụ 6. Chứng minh 3 3
x  9  4 5  9  4 5
là nghiệm của phương trình 3
x  3x 18  0. Hướng dẫn giải: Ta có 3 3
x  9  4 5  9  4 5 . Suy ra 3 x          3 3 3 9 4 5 9 4 5 3 9 4 5 9 4 5 9  4 5  9  4 5  3
 18  3 8180  x 18  3x . Do đó 3
x  3x 18  0 nên 3 3
x  9  4 5  9  4 5 . Vậy 3 3
x  9  4 5  9  4 5 là nghiệm của phương trình 3
x  3x 18  0 .
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tính x  4  7  4  7 .
Bài 2. Rút gọn A  5  13  4 3 .
Bài 3. Tính Q  2  2 2 1  2  2 2 1 .