Bộ 1 chuyên đề luyện thi vào 10 môn Toán năm 2021 - Chuyên đề 4: Giải toán bằng cách lập phương trình

CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1. (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018)
Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm cái giỏ tre. Trước khi
tiến hành, xưởng được bổ sung thêm công nhân nên số giỏ trẻ phải làm của mỗi người giảm
cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc
của mỗi người như nhau. Lời giải:
Gọi là số công nhân ban đầu của xưởng. (điều kiện )
Khi đó, theo dự định mỗi công nhân phải làm cái giỏ.
Sau khi xưởng được bổ sung thêm công nhân thì số giỏ mỗi người phải làm là
Theo đề bài ta có phương trình:
Kiểm tra điều kiện ta chọn
Vậy lúc dự định xưởng có công nhân.
Câu 2. (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)
Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng và diện tích bằng . Tính độ dài các cạnh
góc vuông của tam giác vuông đó. Lời giải Gọi
là độ dài một cạnh góc vuông (
). Khi đó cạnh góc vuông kia là: ( )
Theo đề bài ta có phương trình: Đặt ,
, phương trình trở thành:
Giải phương trình bậc theo biến ta được: (thỏa điều kiện); (thỏa điều kiện) Với (vì ) Với (vì )
Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là và .
Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là (ĐK: ).
Theo định lí Py-ta-go, ta có: . Diện tích tam giác là nên: Ta có: 1

Do đó, ta có: hoặc
Vậy cạnh góc vuông cần tìm là: và .
Câu 3. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Một nhóm gồm
học sinh (cả nam và nữ) tham gia buổi lao động trồng cây. Các bạn nam trồng được
cây, các bạn nữ trồng được
cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau
và mỗi bạn nữ trồng được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm,
biết rằng mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ cây. Lời giải
Gọi số HS nam của nhóm là , số HS nữ là
Theo đề bài số cây các bạn nam trồng được là
và số cây các bạn nữ trồng được là nên Mỗi HS nam trồng được cây,
Mỗi HS nữ trồng được cây.
Vì mỗi bạn nam trồng được nhiều hơn mỗi bạn nữ cây nên ta có Vậy có HS nam và HS nữ.
Câu 4. (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)
Để chuẩn bị cho năm học mới, học sinh hai lớp 9A và 9B ủng hộ thư viện 738 quyển sách gồm
hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó mỗi học sinh lớp 9A ủng hộ 6 quyển sách
giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B ủng hộ 5 quyển sách giáo khoa và 4
quyển sách tham khảo. Biết số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn số sách tham khảo là 166
quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp. Lời giải
Gọi số học sinh của hai lớp 9A và 9B lần lượt là và ( ).
Số sách giáo khoa hai lớp ủng hộ là .
Số sách tham khảo hai lớp ủng hộ là .
Vì cả hai lớp ủng hộ số sách là cuốn nên ta có và
số sách giáo khoa ủng hộ nhiều hơn sách tham khảo cuốn nên .
Do đó ta có hệ phương trình .( Thỏa mãn) Vậy lớp 9A có học sinh, lớp 9B có học sinh. 2


Câu 5. (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018)
Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong ngày là xong
việc. Nếu làm riêng thì đội hoàn thành công việc chậm hơn đội là ngày. Hỏi nếu làm
riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày? Lời giải
Gọi thời gian đội làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện : . Gọi thời gian đội
làm riêng đắp xong đê là (ngày). Điều kiện: . Số ngày hoàn Số công việc Đối tượng thành công làm trong một việc (ngày) ngày. Làm chung Đội thứ Làm riêng Đội thứ Phương trình ( )
Nếu làm riêng thì đội hoàn thành công việc chậm hơn đội
là ngày nên ta có phương trình: ( )
Từ ( ) và ( ) ta có hệ phương trình: Từ ( ) Ta có: 3

Suy ra (nhận), (loại). Thay vào ( ) ta được .
Vậy thời gian đội làm riêng đắp xong đê là ngày. Thời gian đội
làm riêng đắp xong đê là ngày.
Câu 6. (Tuyển sinh tỉnh Bình Định năm 2017-2018)
Một đám đất hình chữ nhật có chu vi
m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên m và giảm độ dài
cạnh còn lại m thì diện tích mảnh đất tăng thêm m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu. Lời giải
Gọi (m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật.
(m) là cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật. Điều kiện: , .
Diện tích mảnh đất ban đầu: (m2).
Theo đề ta có phương trình: (m).
Giả sử tăng độ dài một cạnh lên m và giảm độ dài cạnh còn lại m.
Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng m: (m).
Độ dài cạnh còn lại khi giảm m: (m).
Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (m2).
Theo đề ta có phương trình: . Từ , ta có hệ phương trình:
Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: m; m.
Câu 7. (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018)
Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng
và chiều dài lớn hơn chiều rộng . Tìm chu vi của vườn hoa? Lời giải Gọi
là chiều rộng của vườn hoa,
Chiều dài của vườn hoa là .
Theo đề bài ta có phương trình: 4