Đề thi HSG Toán 10 Trường Khoa học giáo dục-ĐHQG Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THPT KHOA HỌC GIÁO DỤC
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023 - 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Môn thi: Toán 10 Mã đề thi: ……
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề thi có: 01 trang Câu 1: Trong số tự nhiên từ đến , cần chọn số
sao cho hai số phân biệt bất
kì được chọn có tổng chia hết cho . Hỏi có thể chọn số thỏa mãn điều kiện trên với n lớn nhất là bao nhiêu?
Câu 2: Từ chữ số
lập các số tự nhiên có chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
Câu 3: Giải phương trình:
Câu 4. Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5: Cho tam giác nhọn
không cân nội tiếp đường tròn có đường cao . Gọi
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Vẽ đường kính của đường tròn và đường thẳng cắt các đường thẳng theo thứ tự là
Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp. --- HẾT---
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ XIV, NĂM HỌC 2023 – 2024
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: Toán 10
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu 1: Trong số tự nhiên từ đến , cần chọn số
sao cho hai số phân biệt bất
kì được chọn có tổng chia hết cho . Hỏi có thể chọn số thỏa mãn điều kiện trên với n lớn nhất là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải Giả sử có hai số
được chọn, viết chúng dưới dạng và với Theo yêu cầu cần chọn nghĩa là Các cặp hoặc có thể là
Nếu có ít nhất ba cặp số được chọn ta cũng viết với , thì các cặp hoặc hoặc ;
cũng phải thuộc các dạng trên. Từ đo suy ra nếu thì với suy ra lúc đó không chia hết cho Vậy chỉ có thể
nghĩa là ba số được chọn (và cũng suy ra mọi số được chọn) phải có
cùng số dư là hoặc khi chia cho Xét hạng dư trong số từ 1 đến thì có số. Xét hạng dư trong số từ 1 đến thì có số. Vậy lớn nhất là
Câu 2: Từ chữ số
lập các số tự nhiên có chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó.
Hướng dẫn giải
Nếu hàng đơn vị bằng 1 thì có cách lập Tương tự thì cũng có cách lập
Do đó tổng các chữ số hàng đơn vị là
Tương tự cho hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn và hàng vạn thì ta có tổng tất cả các số:
Câu 3: Giải phương trình:
Hướng dẫn giải Đặt Khi đó
Từ đó ta có phương trình
Thử lại đúng vậy phương trình có 4 nghiệm: