Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo (cả năm)

LÝ THUYẾT THEO BÀI HỌC CHÂN TRỜI SÁNG TẠO TOÁN 10 – TẬP 1
Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác
Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° A. Lý thuyết
1. Giá trị lượng giác
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α
≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
. Gọi (x0; y0) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ y0 của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = y0;
- Hoành độ x0 của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = x0; - Tỉ số
(x0 ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là - Tỉ số
(y0 ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.


Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°. Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho Ta có: .
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là Theo định nghĩa ta có: Chú ý:
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.


Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có: sin(180° ‒ α) = sinα; cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°). Ví dụ 3. a) Biết
. Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°. Hướng dẫn giải a) Ta có: Suy ra:
(vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau);
(vì 150° và 30° là hai góc bù nhau);
(vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);

b) Ta có: tan45° = 1. Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt: α Giá trị 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° lượng giác sinα 0 1 0 cosα 1 0 ‒1 tanα 0 1 || ‒1 0 cotα || 1 0 ‒1 ||
Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = a2.sin90° + b2.cos90° + c2.cos180°;
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150°. Hướng dẫn giải
a) A = a2.sin90° + b2.cos90° + c2.cos180° A = a2. 1+ b2.0 + c2.(‒1) A = a2 ‒ c2.