Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Bắc Giang

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ BẮC GIANG NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán – Lớp 10
(Đề thi đề xuất)
(Thời gian: 180 phút – không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn
Câu 2 (4 điểm). Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc  ca abc  . ab bc ca Chứng minh rằng 1  1  1 3  abc  9 3  6 c a b
Câu 3 (4 điểm). Cho tứ giác nội tiếp đường tròn , điểm thuộc đoạn sao cho . Gọi
lần lượt là giao điểm của với đường tròn và là điểm đối xứng của qua ; là giao điểm của và a) Chứng minh rằng đi qua trung điểm của b) Gọi
lần lượt là giao điểm của và Chứng minh rằng
Câu 4 (4 điểm). Xét số nguyên dương
có phân tích tiêu chuẩn là , đặt hàm .
a. Tìm tất cả các giá trị của sao cho .
b. Tìm tất cả các giá trị của sao cho .
Câu 5 (4 điểm).Cho tập hợp và
Sắp xếp các phần tử của tập hợp M thành một dãy số theo thứ tự giảm dần. Hãy tìm số đứng
thứ 2024 của dãy số đó.
-------------------Hết-------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! SỞ GD&ĐT BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẮC GIANG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán – Lớp 10 ĐÁP ÁN Câu
Nội dung chính cần đạt Điểm
Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn 4.0đ Xét , từ (1) ta tìm được 0.5 Xét khác hằng số. 1.0 (1) Thay vào (1) ta được (2) Thay vào (2) ta được Thay bởi vào (2) ta được (3) Thay vào (1) ta được (4) 1.0 1 Thay (3) vào (4) ta được (5) với Suy ra (6) với (nếu thì do (5)) Thay bởi , bởi
vào (1) và sử dụng (5)(6) ta được 1.0 (7) Từ (1)(7) ta có Nếu suy ra , thay vào (2) ta được Do đó và (8) Thay vào (1) ta được (9) Từ (8)(9) ta có . 0.5
Vậy có hai hàm số thỏa mãn đầu bài là và 2 Cho a, ,
b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc  ca abc  . Chứng minh rằng 4 đ ab bc ca 1  1  1 3  abc  9 3  6 c a b 1,0 1,0 1,0 1,0 Đẳng thức xảy ra khi 3 Cho tứ giác
nội tiếp đường tròn
, điểm thuộc đoạn sao cho 4đ . Gọi
lần lượt là giao điểm của với đường tròn và
là điểm đối xứng của qua
; là giao điểm của và a) Chứng minh rằng
đi qua trung điểm của b) Gọi
lần lượt là giao điểm của và Chứng minh rằng
Câu 3a (1,0 điểm) Dễ thấy MN song song với AB. Áp dụng bổ đề hình thang 1,0
cho hình thang ABMN ta có ST đi qua trung điểm của AB.
Câu 3b (3,0 điểm) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AB và
CD, G là giao điểm của AC và BD. Gọi K, L lần lượt là giao điểm của DM, CN
với BC, AD, gọi J là giao điểm của KL và CD.Gọi H là giao điểm của EG và AB. 1,0 Do
, hơn nữa theo giả thiết nên
và SH, SC là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng SG, SE. (1)
Gọi I là giao điểm của DM, CN và I’ là giao điểm của DX, CY. Khi đó dễ thấy
SI, SI’ đối xứng qua CD. (2) 1,0
Áp dụng Định lý Pascal cho bộ điểm
suy ra S, G, I’ thẳng hàng. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra S, I, E thẳng hàng.
Áp dụng Định lý Desargue cho tam giác ALN và tam giác BKM suy ra KL song
song AB. Áp dụng Định lý Desargue cho tam giác ALN và tam giác MKB suy ra