Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Bắc Ninh

SỞ GD&ĐT BẮC NINH
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT DUYÊN HẢI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán – lớp 10
(Thời gian: 180 phút – không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm) Cho x, y, z 0
 , xy  yz  zx  0, z m
 axx, y, z . Chứng minh rằng x y z  2 33 4  y  z z  x x  y
Câu 2 (4 điểm). Cho tam giác nhọn và
là hai đường cao của tam giác. Hai
đường tròn cùng đi qua hai điểm và và tiếp xúc với đường thẳng tại và sao
cho nằm giữa và . Chứng minh rằng hai đường thẳng và sẽ cắt nhau và
giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện :
Câu 4 (4 điểm). Cho 2 dãy số xác định như sau: , với mọi ; , với mọi . Chứng minh rằng: a) Với mọi , cặp số nguyên tố cùng nhau. b) Với mọi , số
là số nguyên nhưng không là số chính phương.
Câu 5 (4 điểm) Xét các tập A thoả mãn: A gồm 100 số tự nhiên phân biệt sao cho nếu a, b,
c là các phần tử bất kì của A (có thể phân biệt hoặc không) thì tồn tại tam giác không có góc
tù mà độ dài ba cạnh là a, b, c. Gọi S(A) là tổng chu vi của các tam giác được xét khi xác
định tập A. Tìm giá trị nhỏ nhất của S(A).
-------------------Hết-------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. SỞ GD&ĐT BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH
Môn: Toán – lớp 10 ĐÁP ÁN Câu
Nội dung chính cần đạt Điểm
Cho x, y, z 0
 , xy  yz  zx  0, z m
 axx, y, z Chứng minh rằng x y z 4.0đ  2 33 4  y  z z  x x  y x y 2(x  y)
Trước hết ta chứng minh   (2) y  z x  z
x  y  z Nếu x 2x 2 y 0   (2)  
 x(x  z) 0  bđt này đúng 1đ z x  z y 2y Nếu 2 x 0   (2)  
 y(y  z) 0  bđt này đúng z y  z 1 x y x y 2(x  y)
Nếu x, y  0      y  z x  z
x( y  y)
y(x  z)
x  y  z 0,5 đ x y z 4(x  y) z
Áp dụng bổ đề ta có 1  2 33  33 (3) x  z y  z x  y
x  y  z x  y 0,5 đ 4(x  y) z
Từ bđt (3) để cm bđt theo yêu cầu ta cm 33 5  (4) 0,5đ
x  y  z x  y z 1 4 3 t   t  ,(4)  3t 5  Đặt 3 x  y 2 1t 1đ 4 3 2 2
 3t  5t 3t  1 0
  (t  1) (3t t  1) 0  (5) 1 Vì t 
nên bđt (5) đúng bài toán được cm 0,5đ 2 2 Cho tam giác nhọn và
là hai đường cao của tam giác. Hai 4.0đ
đường tròn cùng đi qua hai điểm và và tiếp xúc với đường thẳng
tại và sao cho nằm giữa và . Chứng minh rằng hai đường thẳng và
sẽ cắt nhau và giao điểm của hai đường thẳng này nằm
trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Theo tính chất phương tích ta có Vẽ đường kính và gọi
là trực tâm của tam giác . Các tứ giác và nội tiếp nên . 1đ Từ đây suy ra hay tam giác và đồng dạng. Suy ra (1) Điểm nằm giữa và , lại có nên 1 đ Vì hai tam giác vuông và đồng dạng nên .
Kết hợp với đẳng thức trên ta được .
Từ đó hai tam giác vuông và đồng dạng nên . 2đ
Có thể viết lại đẳng thức trên là . Vì là tiếp tuyến của nên (2) Từ (1) và (2) suy ra Do đó , vì vậy hai tia và phải cắt nhau.
Gọi là giao điểm của và . Khi đó .
Nếu nằm giữa và thì . Nếu nằm giữa và thì
. Trong cả hai tình huống thì . Từ đó ta
nhận được nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện : 4.0đ 3 Đặt
. Thay vào phương trình (1), ta được (2) + Cho
Trường hợp 1. . Cho ở (2), ta được : 1đ Thử lại thấy thỏa mãn (2) suy ra :
Trường hợp 2. 1đ + Trong (2), cho , ta được : + Trong (2), cho
và kết hợp với (3), ta được : Hay