Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam

HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN HỌC – KHỐI 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BIÊN HOÀ, T. HÀ
Thời gian làm bài 180 phút NAM
(Đề này có 05 câu; gồm 01 trang) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
. Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn hệ thức Bài 1. (4,0 điểm) .
Bài 2. (4,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 3. (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, AC và T là điểm chính giữa của cung BC không chứa A. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác AMT cắt AC tại L, cắt đường trung trực của AC tại X. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác ANT cắt đường trung trực của AB tại Y. Giả sử X và Y đều thuộc miền trong của tam giác ABC. 1) Chứng minh rằng 2)
Giả sử MN cắt XY tại K. Chứng minh rằng KA = KT.
Bài 4. (4,0 điểm). Cho
là các số nguyên dương, là số nguyên tố lẻ thỏa mãn và
đều là các lũy thừa của . 1)
Chứng minh rằng x và y đều không chia hết cho p. 2) Tìm tất cả các số
và thỏa mãn điều kiện trên.
Bài 5. (4,0 điểm). Một tập hữu hạn các số nguyên dương được gọi là “đẹp” nếu mỗi phần
tử của nó lớn hơn hoặc bằng số phần tử của tập đó (Ví dụ: tập rỗng, tập là các tập đẹp; tập
không là tập đẹp). Gọi
là số các tập con “đẹp” của tập không
chứa hai chữ số liên tiếp. là số các tập con “đẹp” của tập sao cho với hai
phần tử bất kì có trị tuyệt đối của hiệu hai số đó không nhỏ hơn 3. 1) Chứng minh
với là số các tập con “đẹp” của tập không chứa
hai số liên tiếp và chứa n. 2) Chứng minh . ----- Hết ----- 1
Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: ..........................................
Họ và tên giám thị số 1: ............................................................................. Chữ ký: ..............................
Họ và tên giám thị số 2: ............................................................................. Chữ ký: .............................. 2
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XV
KHU VỰC DUYÊN HẢI, ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
MÔN THI: TOÁN – KHỐI 10 Ngày thi 16/07/2024
(Hướng dẫn chấm này gồm có 8 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn hệ thức Bài 1 . Hướng dẫn chấm Nội dung Điểm Giả sử
là một hàm số thỏa mãn đề bài Thay vào (1) ta được (2) 0,5 Thay và ta được và . Từ đó suy ra 0,5 Kết hợp với (2) ta có (3) Trong (3) thay bởi ta được suy ra Do ta có (4) 0,5 Thay ta được Kết hợp với (4) suy ra do (3) nên . Do đó . (6) Xét 2 trường hợp sau 0,5 Trường hợp 1:
Dễ thấy hàm số trên thỏa mãn yêu cầu 0,5
Trường hợp 1: Tồn tại số thực soa cho . 3 Thay ta được suy ra là toàn ánh. 0,5 Thay ta được Kết hợp với (6) , kết hợp với (3) ta có 0,5 Mặt khác nên . Vì là toàn ánh. Nên .
Bằng cách kiểm tra trực tiếp dễ thấy thỏa mãn . Vậy có 2 hàm số thỏa mãn 0,5 .
Bài 2. (4,0 điểm).: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: Hướng dẫn chấm Nội dung Điểm 0,5 Đặt
. Khi đó từ giả thiết ta được .
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 0,5
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 0,5 0,5 Do đó ta được Do , nên ta được 1,0 4