Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Chu Văn An - Hà Nội

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT HÀ NỘI
CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2023- 2024 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT MÔN THI: TOÁN LỚP 10
Ngày thi: ... tháng 7 năm 2024
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau . Câu
2 (4 điểm): Cho hai tập con của tập số thực . Biết rằng . Chứng minh rằng: Câu
3 (4 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ,
là một điểm nằm trên đường tròn . Hình chiếu của xuống các đường lần lượt là . Gọi
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
. Gọi là hình chiếu của xuống . a) Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Tại vị trí của để , giao tại , gọi
là đường cao của tam giác và là trung điểm . Chứng minh rằng: Câu
4 (4 điểm): Cho đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1. Biết . Chứng minh rằng
Câu 5 (4 điểm) Cho tập
. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho mọi tập
con của gồm phần tử luôn tồn tại bốn phần tử phân biệt thuộc mà .
………………………. HẾT ……………………. ĐÁP ÁN
Câu 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình sau . Bài làm: Đặt
, từ hệ ta suy ra được Do các ẩn cùng dấu
nên ta đi tìm các nghiệm dương của hệ. Từ đó ta có thể giả sử là các góc trong tam giác. Từ (1) ta được suy ra
nên ta được ta giác có các cạnh theo tỉ lệ
( đây là tỉ lệ cạnh của tam giác vuông). Ta được Từ đó ta cũng có bộ
nghiệm đối của bộ trên. Câu
2 (4 điểm): Cho hai tập con của tập số thực . Biết rằng . Chứng minh rằng: Bài làm:
Ta làm trong trường hợp tổng quát với n. Bài toán đã cho ứng với n=2025. KMTTQ, giả sử . Áp dụng giả thiết cho có và . Đặt Được Lấy ta được Từ ta thấy trong n số
phải có cả số âm và dương Từ ta thấy trong n số
phải có cả số âm và dương Từ ta thấy phải tồn tại hay Giả sử
Gọi s là chỉ số thỏa mãn và
Gọi t là chỉ số thỏa mãn và Vì nên ta có Giả sử phản chứng thì ta có Ta có và
là 2 số luôn cùng dấu do và . Lại có nên có Vậy hay Chú ý: và , do đó
Cộng vế theo vế có cho ta mâu thuẫn là
Vậy điều giả sử là sai, ta có đpcm. Câu
3 (4 điểm) Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn ,
là một điểm nằm trên đường tròn . Hình chiếu của xuống các đường lần lượt là . Gọi
là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
. Gọi là hình chiếu của xuống . a) Chứng minh rằng
cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác . Tại vị trí của để , giao tại , gọi
là đường cao của tam giác và là trung điểm . Chứng minh rằng: Bài làm:
a) Giả sử vị trí các điểm như hình (trường hợp khác cmtt) Ta có: nên nội tiếp nên 1 đường tròn nên nội tiếp Do K là tâm nội tiếp nên: (Do nội tiếp) Có ; Từ và , ta có nên 1 đường tròn
b) Gọi S là tâm bàng tiếp góc A trong ,
D’ là hình chiếu của S lên BC Ta có nên E là trung điểm Có
là phân giác trong, phân giác ngoài nên Mà nên Lại có E là trung diểm
nên theo hệ thức Newton, ta có (Đpcm) Câu
4 (4 điểm): Cho đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1. Biết . Chứng minh rằng Bài làm: a) Đặt . Nếu thì ta có Cứ thế ta được: