Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Chuyên Bảo Lộc - Lâm Đồng

SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI NĂM 2024 BẢO LỘC MÔN: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 180 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập , lấy giá trị trong
và thỏa mãn phương trình với mọi số thực .
Câu 2(4 điểm). Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a, b, c
Câu 3(4 điểm). Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d
thay đổi qua A cắt các tiếp tuyến tại B, C lần lượt tại M, N và cắt (O) tại E. Gọi F
là giao điểm của BN và CM. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4(4 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình .
Câu 5(4 điểm). Cho tập gồm số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyên
dương nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con có phần tử của đều tồn tại hai số phân biệt sao cho là số nguyên tố. Lời giải.
……………………………Hết………………………….
SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG
HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC BẢO LỘC DUYÊN HẢI NĂM 2024 ******** MÔN: TOÁN 10
Thời gian làm bài: 180 phút
( Đề này gồm 07 câu, 08 trang) Câu hỏi Hướng dẫn Điểm 1.
Tìm tất cả các hàm số xác định trên tập , lấy giá trị trong và thỏa mãn (4,0 điểm) phương trình với mọi số thực . Cho ta được (1)
Ta chứng minh là đơn ánh. Thật vậy nếu sao cho 1,0 (2). Từ (1) và (2) ta có (3). 0.5 0.5 Cho
thay vào phương trình đã cho ta được Từ (4) lần thay bởi ta được 1,0
Từ hai đẳng thức này kết hợp với (2) và (3) ta được . 1,0 Vậy là một đơn ánh. Do đó từ (1) ta có
thử lại thấy thỏa mãn. 2.
Tìm tất cả các số thực k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không (3,0 âm a, b, c điểm)
Không mất tính tổng quát giả sử Khi đó 1,0
Như vậy, ta sẽ tìm k sao cho : 1,0 Cho ta được .Ta sẽ chứng minh với mọi Ta có 1,0
nên BĐT đầu tiên đúng . Đồng thời
nên BĐT thứ hai cũng đúng. 1,0 Vậy 3.
Cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn (O). Một đường thẳng d thay đổi qua A (5,0
cắt các tiếp tuyến tại B, C lần lượt tại M, N và cắt (O) tại E. Gọi F là giao điểm điểm)
của BN và CM. Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. D P B H K G F C I L T M A E N Q
Gọi D là giao điểm của hai tiếp tuyến tại B và C của (O), H là giao
điểm của AD và BC thì H cố định. Ta sẽ chứng minh EF đi qua H, 1,0
tức là chứng minh ba đường thẳng BN, CM và EH đồng quy.
Đường thẳng DF cắt (O) tại P, Q và cắt AD, BC tương tứng tại L,K.
Đường thẳng EN cắt BC tại G.
Nếu BC//AE thì các đường thẳng BN, CM, EH, AG đồng quy tại F. 1,0
Nếu BC cắt AE tại T. Khi đó vì BPCQ là tứ giác điều hòa và
nên TP, TQ là các tiếp tuyến của (O). Suy ra
. Điều này dẫn đên ba đường thẳng 1,0
AG, EH, KL đồng quy tại điểm I và
Mặt khác tam giác DMN có DL, BN, CM đồng quy tại F, BC cắt MN tại T nên Suy ra và do đó 1,0
Vậy ba đường thẳng BN, CM, EH đồng quy tại F, tức là EF đi qua H cố định.