Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Hoàng Lê Kha - Tây Ninh

SỞ GD & ĐT TÂY NINH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LẦN THỨ XV - NĂM 2024 – HẢI DƯƠNG HOÀNG LÊ KHA
MÔN THI: TOÁN - KHỐI 10
(Thời gian: 180’ không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 5 câu trong 1 trang) ĐỀ BÀI:
Bài 1. (4 điểm). Xét tất cả các hàm đơn ánh thỏa mãn điều kiện: , với mọi . Chứng minh rằng hàm số là một song ánh.
Bài 2. (4 điểm). Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
Bài 3. (4 điểm). Cho tam giác △ABC. Đường tròn bất kỳ tâm J đi qua BC lần lượt cắt AC và AB tại
E và F. Gọi X là điểm sao cho tam giác △XBF đồng dạng △JCE (X, C nằm cùng phía với AB). Gọi
Y là điểm sao cho tam giác △YCE đồng dạng với tam giác △JBF (Y, B nằm cùng phía với AC).
Chứng minh rằng XY luôn đi qua trực tâm tam giác △ABC.
Bài 4. (4 điểm). Cho
và là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn và .
a) Hãy chỉ ra một cặp số nguyên dương
thỏa mãn các điều kiện đã cho với và . b) Chứng minh .
Bài 5. (4 điểm). Tìm hình vuông có kích thước bé nhất, để trong hình vuông đó có thể sắp xếp
năm hình tròn bán kính 1, sao cho không có hai hình tròn nào trong chúng có điểm chung.
------------HẾT------------
PHẦN ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Bà Nội dung trình bày Điểm i 1
Xét tất cả các hàm đơn ánh thỏa mãn điều kiện: , với mọi . 4đ Chứng minh rằng hàm số là một song ánh. 0,5 Đặt .
Khi đó từ phương trình ban đầu ta được: 0,5 . Do đó ta có 0,5
Ta chứng minh là đơn ánh. 0,5 Thật vậy với sao cho 0,5 Suy ra: hay là đơn ánh.
Ta chứng minh là toàn ánh. Thật vậy với mọi ta có: 0,5
Kết hợp với là một đơn ánh ta thu được: 0,5 .
Đẳng thức này chứng tỏ là một toàn ánh. 0,5
Do đó là một song ánh hay là một song ánh. 2 4 Cho ba số thực dương thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . Ta chứng minh (1) Thật vậy, 0.5 0.5
Bất đẳng thức cuối là đúng nên (1) đúng. Tương tự, ta có 1 (2) và 1 (3)
Cộng (1), (2) và (3) lại, ta được 0.5 . Do đó, .
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Vậy giá trị lớn nhất của là 3. 0.5 3
Cho tam giác △ABC. Đường tròn bất kỳ tâm J đi qua BC lần lượt cắt AC và AB tại E và F. Gọi X là 4
điểm sao cho tam giác △XBF đồng dạng △JCE (X, C nằm cùng phía với AB). Gọi Y là điểm sao cho
tam giác △YCE đồng dạng với tam giác △JBF (Y, B nằm cùng phía với AC). Chứng minh rằng XY
luôn đi qua trực tâm tam giác △ABC. 0,5 Kí hiệu: Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên Gọi
lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên Ta có: 0,5
Xét tam giác BJ’J’’ và tam giác CJ’J’’, ta có mối liên hệ giữa x,y và z liên quan đến góc trong tam giác ABC 0,5 Gọi
lần lượt là chiều cao trong tam giác ABC hạ xuống các cạnh BC, AC, AB
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
là bán kinh đường tròn tâm J
Các điểm X, Y được xây dựng như sau. Gọi
là đối xứng của E qua đường trung trực BC. Ta vẽ đường song song với qua
, nó cắt BJ tại “điểm màu vàng”, dựng đường tròn qua B, F và “điểm
màu vàng”, và giao với đường phân giác JJ’ của góc
ta được 2 điểm trong đó điểm X thỏa yêu
cầu bài toán. Cách dựng tương tự cho điểm Y.
Để chứng minh H, X, Y thẳng hàng ta dùng véc tơ. Gọi là các véc tơ đơn
vị trên hai trục JJ’ và JJ’’ Dựng , gọi , khi đó
là trực tâm tam giác BJ’’A Ta có: 0,5 0,5 Trong đó, và
Xét tam giác XBJ theo định lí Sin: . Do đó, , chứng minh tương tự .
Theo quy tắc hình bình hành ta có: