Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình

111Equation Chapter 1
KỲ THI CHỌN HSG CÁC TRƯỜNG THPT
Section 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 HOÀNG VĂN THỤ
Đề thi môn: Toán Lớp 10 TỈNH HÒA BÌNH
Thời gian làm bài:180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Câu 1 (4 điểm). Tìm tất cả các hàm số thoả mãn và
Câu 2 (4 điểm). Với các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng
Câu 3 (4 điểm). Cho nhọn . Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với lần lượt tại . Gọi
lần lượt là giao điểm của và . Gọi là giao điểm của và
. Gọi là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp các tam giác và . a) Chứng minh rằng thẳng hàng.
b) Gọi là giao điểm của và . Kí hiệu
lần lượt là tiếp tuyến khác tại tới đường tròn
. Gọi là giao điểm của . Chứng minh rằng chia đôi .
Câu 4 (4 điểm). Cho các số nguyên dương thoả mãn và . Chứng minh rằng . (Ở đây
là ước chung lớn nhất của số tự nhiên .
Câu 5 (4 điểm). Với các số nguyên thỏa , kí hiệu
a) Tính số phần tử của b) Cho
và . Gọi là số phần tử của chứa và không chứa là số phần tử chứa nhưng không chứa là số phần tử chứa nhưng không chứa . Chứng minh rằng
. Dấu bằng xảy ra khi nào? --- HẾT --- 1 2 211Equation Chapter 1
KỲ THI CHỌN HSG CÁC TRƯỜNG THPT
Section 1TRƯỜNG THPT
CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB CHUYÊN NĂM HỌC 2023-2024 HOÀNG VĂN THỤ
Đề thi môn: Toán Lớp 10 TỈNH HÒA BÌNH
Thời gian làm bài:180 phút ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm
Câu 1 Tìm tất cả các hàm số thoả mãn và Chứng minh nếu thì . Từ đó suy ra và . Giả sử và . Thay
vào phương trình hàm ban 4,0 đ đầu ta thu được (vô lí vì ). Như vậy nếu thì . Thay
vào phương trình hàm ban đầu ta thu được
Chứng minh là một đơn ánh. Thay
vào phương trình hàm ban đầu ta thu được .
Bằng quy nạp ta chỉ ra được Giả sử và .
Suy ra tồn tại các số thực sao cho Thay
vào phương trình hàm ban đầu ta thu được 3 Nếu (vô lí) Nếu (vô lí) Vậy là một đơn ánh. Thay
vào phương trình hàm ban đầu ta thu được Mà là đơn ánh nên hay . Thử lại ta thấy
là tất cả các hàm số thoả mãn yêu cầu đề bài. Câu 2
Với các số thực dương thoả mãn . Chứng minh 4,0 đ rằng Đặt và .
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, dạng cộng mẫu ta có Với điều kiện ta chứng minh được Lại có: Mặt khác: 4