Đề thi HSG Toán 10 Trường THPT Chuyên Hùng Vương - Bình Dương

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ ĐỀ XUÁT KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU TỈNH BÌNH DƯƠNG
VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ Trường THPT chuyên NĂM 2024 Hùng Vương
Môn: TOÁN – KHỐI 10
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề ĐỀ ĐỀ XUẤT
Câu 1: (4 điểm).
Tìm tất cả các hàm số sao cho
Câu 2: (4 điểm). Cho số nguyên phân biệt
và một số nguyên dương . Đặt
Chứng minh rằng là một số nguyên với mọi
Câu 3: (4 điểm). Cho tam giác
ngoại tiếp đường tròn . Gọi
lần lượt là tiếp điểm của với . giao với tại , giao với tại Chứng minh rằng đồng quy.
Câu 4: (4 điểm).
a) Cho là số nguyên tố và là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng mọi
ước nguyên tố của số
hoặc là , hoặc chia cho dư 1.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên dương mà số
là lũy thừa bậc 5 của một số nguyên dương.
Câu 5: (4 điểm). Cho một bảng ô vuông
như hình vẽ. Có 100 ô vuông đơn vị có độ dài bằng 1.
Có bao nhiêu cách chọn ra hai điểm mà độ dài đoạn nối hai điểm đó là một số nguyên.
---------------HẾT---------------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM – TOÁN – KHỐI 10
Câu 1: (4 điểm). (Người ra đề: Trần Văn Trí).
Tìm tất cả các hàm số sao cho (1) THANG ĐIỂM CÂU 1 + Cho vào (1) ta được (2) (0,5điểm) + Cho vào (1) ta được (3) (0,5điểm) Từ (2) và (3) suy ra (4) (0,5điểm)
Từ (4) ta suy ra f là hàm số chẵn.
Thay y = 1 vào (1) ta được (5) (0,5điểm)
Thay y = -1 vào (1) ta được (6) (0,5điểm) Từ (5) và (6) ta suy ra (0,5điểm) Cho vào (1) ta được (0,5điểm) Vậy . Thử lại thỏa mãn. (0,5điểm)
Câu 2: (4 điểm). (Người ra đề: Nguyễn Thành Nhân) Cho số nguyên phân biệt
và một số nguyên dương . Đặt
Chứng minh rằng là một số nguyên với mọi THANG ĐIỂM CÂU 2 Đặt và
Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức
giả sử ta được thương là đa thức và đa thức dư là là các đa thức hệ số nguyên và (1,0 điểm) Ta viết (0,5 điểm) Trong , lần lượt thay , và do nên ta suy ra (1,0 điểm)
Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức tại các nút nội suy ta được (1,0 điểm)
Đồng nhất hệ số của ở hai vế trong và do
là đa thức hệ số nguyên nên hệ số của
ở bên phải cũng là số nguyên, từ đó ta có là một số nguyên. Điều phải chứng minh. (0,5 điểm)
Câu 3: (4 điểm). (Người ra đề: Trần Nguyễn Quốc Anh) Cho tam giác
ngoại tiếp đường tròn . Gọi
lần lượt là tiếp điểm của với . giao với tại , giao với tại Chứng minh rằng đồng quy. THANG ĐIỂM CÂU 3